Differentialregning

Under indflyvning til Kastrup får piloten konstant oplysning om, hvor han er på kortet. Men hvad skal kompasset vise på de forskellige positioner? Kun hvis han i hvert enkelt øjeblik flyver langs tangenten til banekurven, bliver han på den rigtige kurve.
Matematisk betyder det, at piloten skal kende hældningskoefficienten til kurvens tangent.

Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz
Isaac Newton   G Leibniz
Omkring år 1600 blev det et stadig mere påtrængende problem at bestemme præcise ligninger for tangenter.
Problemet blev løst i sidste halvdel af 16 - hundrede tallet af Isaac Newton og Gottfried Wilhelm von Leibniz, der uafhængigt af hinanden opfandt differentialregningen.
Det viste sig hurtigt, at teorien havde mange andre anvendelser, og til denne dag er differentialregning matematikkens måske vigtigste redskab.

Emner

Andet

Kontinuitet

Ordet kontinuitet betyder "sammenhæng". I matematikken bruger vi det som betegnelse for funktioner, hvis grafer "hænger sammen". Intuitivt er det let at tage stilling til, om en funktion er kontinuert. Men hvordan afgøre eventuelle uenigheder?

I 1600-tallet nåede man frem til et sæt begreber, som til denne dag anvendes til at præcisere sagen.
At en funktion er kontinuert må hænge sammen med, at hvis to x-værdier ligger tæt ved hinanden, må de tilsvarende y-værdier også ligge tæt ved hinanden.

Der er tradition i matematikken for at angive ændringer ved "Δ", så kontinuitet betyder

At noget er småt (men ikke = 0) udtrykte man med symbolet → 0. Ovenstående skrives altså

Kontinuitet i et punkt

Lad funktionens graf indeholde punkterne (x0, y0) = (x0, f(x0)) og (x, y) = (x, f(x)). (Vi vil ofte opfatte det første punkt som fast og det andet som bevægeligt).
At f er kontinuert i x0 betyder

Vi bruger formuleringen: f(x) har grænseværdien f(x0) for x gående mod x0.

Det kan vises, at "alle" standardfunktioner: polynomier, eksponentielle-, trigonometriske- og logaritmefunktioner er kontinuerte i hele deres definitionsmængde.

Her er et par eksempler.

Hovedsætninger om kontinuerte funktioner

Følgende to sætninger er komplicerede at bevise; men intuitivt letforståelige:

En uddybning af begrebet kontinuitet findes her.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Differentialregning

Kurvetangent

Bestemmelse af en kurves tangent i et punkt er et væsentligt problem i geometrien. For cirkler er det enkelt, idet tangenten står vinkelret på radius.

I dette afsnit ser vi på eventuelle tangenter til funktionsgrafer.

Vi bemærker først, at det ikke er sikkert at grafen har en tangent i (x0, f(x0)). Hvis grafen "knækker" i punktet, kan vi ikke fastlægge n tangent (men måske to halvtangenter). "Hopper" grafen derimod i punktet, giver det ingen mening at tale om en tangent. (Vi må som minimum kræve kontinuitet i punktet.)

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Som et første bud på en tangent til grafen i punktet P0 (x0, f(x0)) tegner vi en sekant gennem P0 og P (x, f(x)). Sekantens hældningskoefficient er bestemt ved

Jo tættere de to punkter ligger ved hinanden, jo bedre tilnærmer sekanten tangenten i P0.
Vi ledes til at se på grænseovergangen x → x0. Spørgsmålet er, om

Δy
Δx
= f(x) – f(x0)
x – x0
har en grænseværdi for x → x0 .

Er det tilfældet, siges  funktionen at være differentiabel i x0, og grænseværdien kaldes f '(x0)(differentialkvotienten) (læses f mærke i x0).

Resultatet er altså, at hvis funktionen er differentiabel i x0, går dens tangent gennem punktet (x0, f(x0)) med hældningskoefficienten f '(x0). Tangentens ligning bliver altså

Tangenten er graf for det approximerende førstegradspolynomium p(x)

Differentialkvotienten symboliseres i litteraturen på forskellig måde: f '(x) = y' = df(x) / dx = dy/dx.

I grafikken herunder er der brugt "D" i stedet for "Δ".

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Her er et program, der kan differentiere "alle" funktioner symbolskt.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Differentiation af nogle standardfunktioner

f(x) = ax + b , f '(x) = a

Da grafen for en lineær funktion er sin egen tangent, slutter vi, at tangentens hældningskoefficient overalt er a.

f(x) = x2 , f '(x) = 2 x
  1. Funktionens tilvækst er Δy = f(x) – f(x0) = x2 – x02 = (x + x0)(x – x0) = (x + x0)Δx.
  2. Sekantens hældningskoefficient er asek = Δ y / Δx = x + x0.
  3. Grænseovergangen x → x0. Vi ser, at Δy / Δx → 2 x0   for   x → x0.
f(x) = √x , f '(x) = 1
2√x
  1. Funktionens tilvækst er
    Δy = f(x) – f(x0) = √x – √x0 = (√x – √x0) (√x + √x0) / (√x + √x0) = Δx / (√x + √x0).
  2. Sekantens hældningskoefficient er asek = Δy / Δx = 1 / (√x + √x0).
  3. Grænseovergangen x → x0. Vi ser, at Δy / Δx → 1 / (2√x0)   for   x → x0.
f(x) = xn , f '(x) = n xn–1

Vi ser første på f(x) = x3 = x · x2. Da begge disse funktioner er differentiable, kan vi benytte produktsætningen, og finder

På tilsvarende måde f(x) = x4 = x · x3

På denne måde nås sætningen for hele positive n.

Her er et andet bevis for sætningen.

For negative eksponenter kan vi gå frem på følgende måde. x–n = 1 / xn , x ≠ 0. Da nævnerfunktionen er differentiabel, kan vi anvende reciprok-sætningen og finder

som stemmer med den annoncerede formel.

For ikke-hele eksponenter skal sagen gribes an på en anden måde.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Skema

f(x)f '(x)F(x) f(x)f '(x)F(x)
x22 xx3 / 3 sin(x)cos(x)–cos(x)
√x1 / (2√x)2 / 3 x√x cos(x)–sin(x)sin(x)
1 / x–1 / x2ln(x) tan(x)1+tan2(x)–ln(cos(x))
xaa xa–1xa+1 / (a + 1) axax ln(a)ax / ln(a)
exexex ln(x)1 / xx ln(x) – x

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Regneregler for differentialkvotienter

Kun for meget enkle funktioner er det praktisk muligt at gennemføre grænseovergangen
Δf / Δx → ? for x → x0. Bliver tingene blot en smule komplicerede, må man anlægge en "del og hersk"-strategi. Den består i at finde et antal sætninger for differentiable funktioner, som gør det overkommeligt at differentiere.

[f(x) + g(x)]' = f '(x) + g'(x)

Hvis både f(x) og g(x) er differentiable, skal vi vise, at h(x) = f(x) + g(x) også er differentiabel.

  1. Δh = h(x) – h(x0) = f(x) + g(x) – f(x0) – g(x0) = Δf + Δg.
  2. Δh / Δx = Δf / Δx + Δg / Δx.
  3. Da f og g begge er antaget differentiable gælder Δh / Δx → f '(x0) + g'(x0)   for   x → x0.

Med et helt tilsvarende argument kan man vise, at (f(x) – g(x))' = f '(x) – g'(x).

[f(x) · g(x)]' = f '(x) · g(x) + f(x) · g'(x)

Hvis både f(x) og g(x) er differentiable, skal vi vise, at h(x) = f(x) · g(x) også er differentiabel.

  1. Δh = h(x) – h(x0) = f(x) · g(x) – f(x0) · g(x0). Her indfører vi et "trick": vi trækker f(x0) · g(x) fra og lægger størrelsen til og får:
    Δh = f(x) · g(x) – f(x0) · g(x0) – f(x0) · g(x) + f(x0) · g(x) = [ f(x) – f(x0) ]g(x) + f(x0)[ g(x) – g(x0) ] = Δf · g(x) + f(x0) · Δg.
  2. Δh / Δx = Δf / Δx · g(x) + f(x0) · Δg / Δx.
  3. Da f og g begge er antaget differentiable (og g derfor kontinuert) gælder
    Δh / Δx → f '(x0) · g(x0) + f(x0) · g'(x0)   for   x → x0.

Spicielt er (k · f(x))' = k · f '(x).

( 1
f(x)
) '


= –f '(x)
f2(x)

Hvis f(x) er differentiabel (og f(x) ≠ 0), skal vi vise, at h(x) = 1 / f(x) også er differentiabel.


  1. Δh = h(x) – h(x0) = 1
    f(x)
    1
    f(x0)
    = f(x0) – f(x)
    f(x) · f(x0)
    = –Δf
    f(x) · f(x0)
    .

  2. Δh
    Δx
    = –Δf / Δx
    f(x) · f(x0)
    .
  3. Da f er antaget differentiabel (og derfor også kontinuert) gælder Δh / Δx → –f '(x0) / f 2(x0)   for   x → x0.
( f(x)
g(x)
) '


= f '(x) g(x) – f(x) g'(x)
g2(x)

Hvis både f(x) og g(x) er differentiable (og g(x) ≠ 0), skal vi vise, at h(x) = f(x) / g(x) også er differentiabel.

Da h(x) = f(x) · [1 / g(x)] kan vi benytte først produktsætningen og derefter reciproksætningen og finder

h'(x) = f '(x) 1
g(x)
+ f(x) ( 1
g(x)
) '


= f '(x)
g(x)
f(x) g'(x)
g2(x)
= f '(x) g(x) – f(x) g'(x)
g2(x)
.
[ f(g(x)) ]' = f '(g(x)) · g'(x)

Vi ser på den sammensatte funktion z = h(x) = f(g(x)) = f(y), hvor y = g(x).

Lad z = f(y) og y = g(x) være differentiable i henholdsvis y0 og x0.

  1. Δh = h(x) – h(x0).

  2. Δh
    Δx
    = Δz
    Δx
    = Δz
    Δy
    · Δy
    Δx
    .

    For at være sikre på, at denne omskrivning går godt (Δy ≠ 0), forudsætter vi her, at g'(x) ≠ 0, f.eks. ved at g(x) er monoton.
  3. Da f og g er antaget differentiable, er g kontinuert, så Δy → 0   for   Δx → 0.
    Følgelig gælder Δh / Δx → f '(y0) · g'(x0)   for   x → x0.
[ f–1(x) ]' = 1
f '(f–1(x))

Er f(x) monoton, har den en omvendt funktion f–1(x). Vi viser, at hvis f(x) er differentiabel og f '(x) ≠ 0, er den omvendte (også) differentiabel.

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Graferne for f(x) og f–1(x) ligger symmetrisk om linien y = x. f - grafen har tangenter med hældningskoefficienter > 0. Det medfører, at den spejlede graf (for f–1) også har tangenter, så f–1(x) er differentiabel. Ved sammensat differentiation finder vi

    f(f–1(x)) = x eller
    f '(f–1(x)) (f–1(x))' = 1, hvoraf
    (f–1(x))' = 1
    f '(f–1(x))

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Stamfunktion , F(x) = ∫ f(x) dx

Vi ser på familien

Man går mod højre fra en "stamfader" til en "efterkommer" ved at differentiere. Den modsatte proces: at gå mod venstre fra "efterkommer" til "stamfader" kaldes at integrere eller at finde stamfunktioner.

DEFINITION: F(x) siges at være en stamfunktion til f(x) hvis og kun hvis   F'(x) = f(x).

Sætter vi G(x) = F(x) + k, hvor k er et tal, er G'(x) = [ F(x) + k ]' = F'(x) + k' = f(x). Der gælder altså

Har f(x) n stamfunktion, har den "mange". ♦

Lad F(x) og G(x) være to stamfunktioner til f(x), og lad H(x) = F(x) – G(x). Ved differentiation ser vi, at H'(x) = F'(x) – G'(x) = f(x) – f(x) = 0. Det betyder, at H(x) må være en konstant funktion d.v.s. et tal.

Geometrisk betyder det, at har man grafen for n stamfunktion F(x), får man graferne for de andre ved at parallelforskyde F-grafen langs 2-aksen. ♦

En stamfunktion til f(x) kaldes også det ubestemte integral og skrives ∫ f(x) dx.

Her er et program, der kan finde stamfunktioner til "alle" funktioner.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Eksponential og logaritmefunktioner

Den naturlige logaritmefunktion: ln(x)

(xn+1)' = (n+1) xn viser, at

er en stamfunktion til f(x) = xn, for n ≠ –1.

Det motiverer os til at se specielt på tilfældet n = –1 altså f(x) = 1 / x. Da f(x) er kontinuert for x > 0, har den stamfunktioner. Den stamfunktion, der indeholder punktet (1, 0) kaldes ln(x), den naturlige logaritmefunktion.

For at undersøge ln(x), ser vi på f(x) = ln(a x), hvor a er et positivt tal.
Da f(x) er sammensat af to differentiable funktioner a x og ln(x), er den selv differentiabel. Vi finder

f(x) = ln(a x) er (også) en stamfunktion til 1 / x. Det betyder, at der findes et tal k, så ln(a x) = ln(x) + k. Sætter vi x = 1, ser vi, at ln(a) = ln(1) + k = k. Altså er ln(a x) = ln(a) + ln(x). Vi har nu den fundamentale regneregel for logaritmer

Af ln(a) = ln(b · a/b) = ln(b) + ln(a / b) ser vi, at

For potenser med hele eksponenter finder vi ln(an) = ln(a) + ln(a) + ... + ln(a) = n ln(a), hvor summen indeholder n led. Det leder os til at fastsætte følgende

Vi ser, at ln(ax) = x · ln(a) = x, hvis a har egenskaben ln(a) = 1. Det tal kaldes traditionelt e, så ln(ex) = x, som viser, at funktionen ex er den omvendte funktion til ln(x).
Hermed er fastlagt, at ar = er · ln(a) er det tal, hvis logaritme er r · ln(a).

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Den naturlige eksponentialfunktion: exp(x) = ex

Da ln'(x) = 1 / x > 0 for x > 0, er ln(x) en voksende funktion og har derfor en omvendt funktion. Vi kalder den den naturlige eksponentialfunktion exp(x) = ex.

For at finde en talværdi for e, kan vi argumentere således:
Vi ved, at ln'(1) = 1. Med Δx = x – 1 har vi

ln(x) – ln(1)
x – 1
= ln(x)
x – 1
= ln(1 + Δx)
Δx
= ln[ (1 + Δx)1/Δx ] → 1   for   Δx → 0.

Anvender vi eksponentialfunktionen på dette reultat, fås (1 + Δx)1/Δx → e   for   Δx → 0.

Sætter vi y = ln(Δx + 1) og dermed Δx = ey – 1 i resultatet, får vi, da Δx → 0 medfører y → 0


lim
Δx → 0
ln(1 + Δx)
Δx
= 1 eller
lim
y → 0
y
ey – 1
= 1 eller
lim
y → 0
ey – 1
y
= 1 eller
lim
x → 0
ex – e0
x – 0
= 1 ,

ex er differentiabel i x = 0 med differentialkvotienten 1.

Heraf følger, at

ex er differentiabel i alle x med differentialkvotienten (ex)' = ex. ex er altså både sin egen differentialkvotient og sin egen stamfunktion. Funktionerne f(x) = k ex er de eneste med denne egenskab.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Eksponentialfunktionen , expa(x) = ax

Af DEFINITIONEN: ln(ax) = x · ln(a) følger, at

Denne funktion er sammensat af ex og proportinaliteten x · ln(a), som begge er differentiable. Heraf følger, at ax er differentiabel, og vi finder

Logaritmefunktion med grundtal a , loga(x)

loga(x) er den omvendte funktion til ax d.v.s

Af x = aloga(x) slutter vi, at ln(x) = loga(x) · ln(a), s

Altså er loga(x) differentiabel, og vi finder

Desuden er 1 = ln(e) = loga(e) · ln(a) , så   loga(e) = 1
ln(a)
.
ax   og   loga(x)
Beklager; din browser kan ikke vise applets!

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Potensfunktionen   xa

Læs her om potensfunktioner generelt.

For x > 0 er xa defineret ved

Altså kan xa differentieres sammensat, og vi finder

xn-sætningen gælder for alle n.

y' = a · y
x
Vi ser, at ligningen y' = a · y
x
løses af

f(x) = xa   og   f '(x) = a xa–1
Beklager; din browser kan ikke vise applets!

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Differentiable funktioners grafer

f '(x)'s fortegn

Hvis f '(x0) = 0, har funktionens graf vandret tangent i punktet (x0, f(x0)). Tangenten kaldes en vendetangent, hvis grafen krydser over tangenten i (x0, f(x0)).

Hvis f '(x0) > 0, gælder grænseovergangen f(x) – f(x0)
x – x0
→ f '(xo) > 0   for   x → x0 .
Der findes med andre ord et interval omkring x0, hvor brøken i hvert fald er > f '(x0) / 2, som er et positivt tal. I dette interval har brøkens tæller og nævner samme fortegn. Altså er funktionen voksende i intervallet.

Hvis f(x) har ekstremum i (x0, f(x0)), m f '(x0) = 0. Tnker vi os nemlig, at f.eks. f '(x0) > 0, må f(x) være voksende i et interval omkring x0 i modsætning til antagelsen.

Disse og lignende overvejelser leder til sætningen

Sætningen kan begrundes ud fra middelværdisætningen.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

De L'Hopitals regel
De L'Hopital
Hvis f(x0) = g(x0) = 0, hvad så med h(x) = f(x)
g(x)
i nærheden af x0 ?

Er både f(x) og g(x) differentiable i x0 gælder f(x)
g(x)
= f(x) – f(x0)
g(x) – g(x0)
=
f(x) – f(x0)
x – x0

g(x) – g(x0)
x – x0
,   så
De L'Hopitals regel:   Hvis f(x0) = g(x0) = 0 og g'(x0) ≠ 0   er
lim
x → x0
f(x)
g(x)
= f '(x0)
g'(x0)
.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Beviser

Kontinuitet

I sidste halvdel af 1800-tallet fik begrebet kontinuitet sin (foreløbig) endelige formulering. Problemet bestod i, at udtrykket x → x0 ikke var præcist nok. Man indså, at kontinuiteten lå i, at uanset hvor lille vi forlanger, at forskellen mellem f(x) og f(x0) skal være, kan vi finde et krav til afstanden mellem x og x0.

Man kan forestille sig en udfordring: Find et e som kan parere ethvert d i den forstand, at hvis x's afstand til x0 er mindre end e, bliver afstanden mellem f(x) og f(x0) mindre end d.

Bevis for, at den lineære funktion f(x) = a x + b er kontinuert overalt

Vi ser at f(x) – f(x0) = a x + b – (a x0 + b) = a (x – x0), så

Bevis for, at funktionen f(x) = x2 er kontinuert

Vi ser at f(x) – f(x0) = x2 – x02 = (x + x0)(x – x0), så

Bemærk forskellen på de to tilfælde. I første tilfælde kan vi parere ethvert d med et e beregnet ud fra d og funktionens regneforskrift.
I andet tilfælde må vi desuden tage hensyn til, hvor på grafen (x0, f(x0)) ligger.

Middelværdisætningen
Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Lad f(x) (blå graf) være differentiabel i intervallet [a; b]. Vi vil bevise, at der mindst et sted mellem x = a og x = b findes et x0, hvor tangenten til f(x) er parallel med sekanten gennem A: (a, f(a)) og B: (b, f(b)).

Sekanten er et liniestykke med ligningen

Den grønne kurve er grafen for funktionen g(x) = f(x) – l(x) , som også er differentiabel i [a; b] og dermed kontinuert i intervallet. Vi ser, at g(a) = g(b) = 0.

Om funktioner, der er kontinuerte på et lukket interval har vi ovenfor nævnt, at de har både en størsteværdi og en mindsteværdi i intervallet.

Der er nu to situationer:

I der første tilfælde falder graferne for f(x) og l(x) sammen, så alle tangenter er parallelle med sekanten AB.

I andet tilfælde har g(x) mindst t ekstremum i intervallet. Lad et ekstremumspunkt være (x0, g(x0)), hvor g(x) er differentiabel. Som vi har set, kan vi slutte, at g'(x0) = 0.
Heraf ser vi, at f '(x0) = l'(x0), så

En konsekvens heraf er, at hvis f '(x) > 0 for alle x i intervallet [a; b], vokser funktionen i intervallet.

f(x) = xn , f '(x) = n xn–1

Vi benytter binomialudviklingf(x + Δx) = (x + Δx)n og finder

Funktionstilvæksten bliver

I 2. trin finder vi

Grænseovergangen Δx → 0 giver

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Links

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]

Antal besøgende siden 1 apr. 2001: