Under indflyvning til Kastrup får piloten konstant oplysning om,
hvor han er på kortet. Men hvad skal kompasset vise på de
forskellige positioner? Kun hvis han i hvert enkelt øjeblik flyver
langs tangenten til banekurven, bliver han på den rigtige kurve.
Matematisk betyder det, at piloten skal kende
hældningskoefficienten til kurvens
tangent.
 Isaac Newton G Leibniz |
Omkring år 1600 blev det et stadig mere påtrængende problem
at bestemme præcise ligninger for tangenter. Problemet blev løst i sidste halvdel af 16 - hundrede tallet af Isaac Newton og Gottfried Wilhelm von Leibniz, der uafhængigt af hinanden opfandt differentialregningen. Det viste sig hurtigt, at teorien havde mange andre anvendelser, og til denne dag er differentialregning matematikkens måske vigtigste redskab. |
Andet
Ordet kontinuitet betyder "sammenhæng". I matematikken bruger vi det som betegnelse for funktioner, hvis grafer "hænger sammen". Intuitivt er det let at tage stilling til, om en funktion er kontinuert. Men hvordan afgøre eventuelle uenigheder?
I 1600-tallet nåede man frem til et sæt begreber, som til denne dag anvendes
til at præcisere sagen.
At en funktion er kontinuert må hænge sammen med, at hvis to
x-værdier ligger tæt ved hinanden, må de tilsvarende
y-værdier også ligge tæt ved hinanden.
Der er tradition i matematikken for at angive ændringer ved "Δ", så kontinuitet betyder
At noget er småt (men ikke = 0) udtrykte man med symbolet → 0. Ovenstående skrives altså
Lad funktionens graf indeholde punkterne (x0, y0) =
(x0, f(x0)) og (x, y) = (x, f(x)). (Vi vil ofte opfatte
det første punkt som fast og det andet som bevægeligt).
At f er kontinuert i x0 betyder
Vi bruger formuleringen: f(x) har grænseværdien f(x0) for x gående mod x0.
Det kan vises, at "alle" standardfunktioner: polynomier, eksponentielle-, trigonometriske- og logaritmefunktioner er kontinuerte i hele deres definitionsmængde.
Her er et par eksempler.
Følgende to sætninger er komplicerede at bevise; men intuitivt letforståelige:
En uddybning af begrebet kontinuitet findes her.
Bestemmelse af en kurves tangent i et punkt er et væsentligt problem i geometrien. For cirkler er det enkelt, idet tangenten står vinkelret på radius.
I dette afsnit ser vi på eventuelle tangenter til funktionsgrafer.
Vi bemærker først, at det ikke er sikkert at grafen har en tangent i (x0, f(x0)). Hvis grafen "knækker" i punktet, kan vi ikke fastlægge én tangent (men måske to halvtangenter). "Hopper" grafen derimod i punktet, giver det ingen mening at tale om en tangent. (Vi må som minimum kræve kontinuitet i punktet.)
Som et første bud på en tangent til grafen i punktet P0 (x0, f(x0)) tegner vi en sekant gennem P0 og P (x, f(x)). Sekantens hældningskoefficient er bestemt ved
| asek = |
Δy Δx |
= |
f(x) – f(x0) x – x0 |
. |
Jo tættere de to punkter ligger ved hinanden, jo bedre tilnærmer
sekanten tangenten i P0.
Vi ledes til at se på grænseovergangen x →
x0. Spørgsmålet er, om
| Δy Δx |
= | f(x) – f(x0) x – x0 |
har en grænseværdi for x → x0 | . |
Er det tilfældet, siges funktionen at være differentiabel i x0, og grænseværdien kaldes f '(x0)(differentialkvotienten) (læses f mærke i x0).
|
Δy Δx |
= |
f(x) – f(x0) x – x0 |
→ f '(x0) for x → x0 . |
Resultatet er altså, at hvis funktionen er differentiabel i x0, går dens tangent gennem punktet (x0, f(x0)) med hældningskoefficienten f '(x0). Tangentens ligning bliver altså
Tangenten er graf for det approximerende førstegradspolynomium p(x)
Differentialkvotienten symboliseres i litteraturen på forskellig måde: f '(x) = y' = df(x) / dx = dy/dx.
I grafikken herunder er der brugt "D" i stedet for "Δ".
Her er et program, der kan differentiere
"alle" funktioner symbolskt.
Da grafen for en lineær funktion er sin egen tangent, slutter vi, at tangentens hældningskoefficient overalt er a.
| f(x) = √x , f '(x) = |
1 2√x |
|---|
| f(x) = √x er differentiabel i x med differentialkvotienten f '(x) = |
1 2√x |
Vi ser første på f(x) = x3 = x · x2. Da begge disse funktioner er differentiable, kan vi benytte produktsætningen, og finder
På tilsvarende måde f(x) = x4 = x · x3
På denne måde nås sætningen for hele positive n.
Her er et andet bevis for sætningen.
For negative eksponenter kan vi gå frem på følgende måde. x–n = 1 / xn , x ≠ 0. Da nævnerfunktionen er differentiabel, kan vi anvende reciprok-sætningen og finder
| (x–n)' = |
–(xn)' (xn)2 |
= |
–n xn–1 x2n |
= –n xn–1 x–2n = –n xn–1–2n = –nx–n–1, |
som stemmer med den annoncerede formel.
For ikke-hele eksponenter skal sagen gribes an på en anden måde.
| f(x) | f '(x) | F(x) | f(x) | f '(x) | F(x) |
|---|---|---|---|---|---|
| x2 | 2 x | x3 / 3 | sin(x) | cos(x) | –cos(x) |
| √x | 1 / (2√x) | 2 / 3 x√x | cos(x) | –sin(x) | sin(x) |
| 1 / x | –1 / x2 | ln(x) | tan(x) | 1+tan2(x) | –ln(cos(x)) |
| xa | a xa–1 | xa+1 / (a + 1) | ax | ax ln(a) | ax / ln(a) |
| ex | ex | ex | ln(x) | 1 / x | x ln(x) – x |
Kun for meget enkle funktioner er det praktisk muligt at gennemføre
grænseovergangen
Δf / Δx → ? for x → x0.
Bliver tingene blot en smule komplicerede, må man anlægge en "del og
hersk"-strategi. Den består i at finde et antal sætninger for
differentiable funktioner, som gør det overkommeligt at differentiere.
Hvis både f(x) og g(x) er differentiable, skal vi vise, at h(x) = f(x) + g(x) også er differentiabel.
Med et helt tilsvarende argument kan man vise, at (f(x) – g(x))' = f '(x) – g'(x).
Hvis både f(x) og g(x) er differentiable, skal vi vise, at h(x) = f(x) · g(x) også er differentiabel.
Spicielt er (k · f(x))' = k · f '(x).
| ( | 1 f(x) |
) | ' |
= | –f '(x) f2(x) |
|---|
Hvis f(x) er differentiabel (og f(x) ≠ 0), skal vi vise, at h(x) = 1 / f(x) også er differentiabel.
| Δh = h(x) – h(x0) = | 1 f(x) |
– | 1 f(x0) |
= | f(x0) – f(x) f(x) · f(x0) |
= | –Δf f(x) · f(x0) |
. |
| Δh Δx |
= | –Δf / Δx f(x) · f(x0) |
. |
| ( | f(x) g(x) |
) | ' |
= | f '(x) g(x) – f(x) g'(x) g2(x) |
|---|
Hvis både f(x) og g(x) er differentiable (og g(x) ≠ 0), skal vi vise, at h(x) = f(x) / g(x) også er differentiabel.
Da h(x) = f(x) · [1 / g(x)] kan vi benytte først produktsætningen og derefter reciproksætningen og finder
| h'(x) = f '(x) | 1 g(x) |
+ f(x) | ( | 1 g(x) |
) | ' |
= | f '(x) g(x) |
– | f(x) g'(x) g2(x) |
= | f '(x) g(x) – f(x) g'(x) g2(x) |
. |
Vi ser på den sammensatte funktion z = h(x) = f(g(x)) = f(y), hvor y = g(x).
Lad z = f(y) og y = g(x) være differentiable i henholdsvis y0 og x0.
| Δh Δx |
= | Δz Δx |
= | Δz Δy |
· | Δy Δx |
. |
| [ f–1(x) ]' = | 1 f '(f–1(x)) |
|---|
Er f(x) monoton, har den en omvendt funktion f–1(x). Vi viser, at hvis f(x) er differentiabel og f '(x) ≠ 0, er den omvendte (også) differentiabel.
|
Graferne for f(x) og f–1(x) ligger symmetrisk om linien y = x. f - grafen har tangenter med hældningskoefficienter > 0. Det medfører, at den spejlede graf (for f–1) også har tangenter, så f–1(x) er differentiabel. Ved sammensat differentiation finder vi
f '(f–1(x)) (f–1(x))' = 1, hvoraf
|
Vi ser på familien
| ... | 1 5 |
x5 ↔ x4 ↔ 4x3 ↔ 12x2 ↔ 24x ↔ 24 ↔ 0 . |
Man går mod højre fra en "stamfader" til en "efterkommer" ved at differentiere. Den modsatte proces: at gå mod venstre fra "efterkommer" til "stamfader" kaldes at integrere eller at finde stamfunktioner.
DEFINITION: F(x) siges at være en stamfunktion til f(x) hvis og kun hvis F'(x) = f(x). ♦
Sætter vi G(x) = F(x) + k, hvor k er et tal, er G'(x) = [ F(x) + k ]' = F'(x) + k' = f(x). Der gælder altså
Har f(x) én stamfunktion, har den "mange". ♦
Lad F(x) og G(x) være to stamfunktioner til f(x), og lad H(x) = F(x) – G(x). Ved differentiation ser vi, at H'(x) = F'(x) – G'(x) = f(x) – f(x) = 0. Det betyder, at H(x) må være en konstant funktion d.v.s. et tal.
Geometrisk betyder det, at har man grafen for én stamfunktion F(x), får man graferne for de andre ved at parallelforskyde F-grafen langs 2-aksen. ♦
En stamfunktion til f(x) kaldes også det ubestemte integral og skrives ∫ f(x) dx.
Her er et program, der kan finde stamfunktioner
til "alle" funktioner.
(xn+1)' = (n+1) xn viser, at
| F(x) = |
xn+1 n + 1 |
er en stamfunktion til f(x) = xn, for n ≠ –1.
Det motiverer os til at se specielt på tilfældet n = –1 altså f(x) = 1 / x. Da f(x) er kontinuert for x > 0, har den stamfunktioner. Den stamfunktion, der indeholder punktet (1, 0) kaldes ln(x), den naturlige logaritmefunktion.
For at undersøge ln(x), ser vi på f(x) = ln(a x), hvor
a er et positivt tal.
Da f(x) er sammensat af to differentiable funktioner
a x og ln(x), er den selv differentiabel. Vi finder
| ln'(a x) = | 1 a x |
· (a x)' = | 1 a x |
· a = | 1 x |
, |
så f(x) = ln(a x) er (også) en stamfunktion til 1 / x. Det betyder, at der findes et tal k, så ln(a x) = ln(x) + k. Sætter vi x = 1, ser vi, at ln(a) = ln(1) + k = k. Altså er ln(a x) = ln(a) + ln(x). Vi har nu den fundamentale regneregel for logaritmer
Af ln(a) = ln(b · a/b) = ln(b) + ln(a / b) ser vi, at
For potenser med hele eksponenter finder vi ln(an) = ln(a) + ln(a) + ... + ln(a) = n ln(a), hvor summen indeholder n led. Det leder os til at fastsætte følgende
Vi ser, at ln(ax) = x · ln(a) =
x, hvis a har egenskaben ln(a) = 1.
Det tal kaldes traditionelt e, så ln(ex) = x,
som viser, at funktionen ex
er den omvendte funktion til ln(x).
Hermed er fastlagt, at ar = er · ln(a) er det tal, hvis
logaritme er r · ln(a).
Da ln'(x) = 1 / x > 0 for x > 0, er ln(x) en voksende funktion og har derfor en omvendt funktion. Vi kalder den den naturlige eksponentialfunktion exp(x) = ex.
For at finde en talværdi for e, kan vi argumentere således:
Vi ved, at ln'(1) = 1. Med Δx = x – 1 har vi
| ln(x) – ln(1) x – 1 |
= | ln(x) x – 1 |
= | ln(1 + Δx) Δx |
= ln[ (1 + Δx)1/Δx ] → 1 for Δx → 0. |
Anvender vi eksponentialfunktionen på dette reultat, fås (1 + Δx)1/Δx → e for Δx → 0.
Skriv en værdi for Δx og klik uden for boksen.
Sætter vi y = ln(Δx + 1) og dermed Δx = ey – 1 i resultatet, får vi, da Δx → 0 medfører y → 0
lim Δx → 0 |
ln(1 + Δx) Δx |
= 1 eller | lim y → 0 |
y ey – 1 |
= 1 | eller | lim y → 0 |
ey – 1 y |
= 1 eller | lim x → 0 |
ex – e0 x – 0 |
= 1 , |
så ex er differentiabel i x = 0 med differentialkvotienten 1.
Heraf følger, at
lim x → x0 |
ex – ex0 x – x0 |
= | lim x → x0 |
ex0 | ex–x0 – 1 x – x0 |
= ex0 , |
så ex er differentiabel i alle x med differentialkvotienten (ex)' = ex. ex er altså både sin egen differentialkvotient og sin egen stamfunktion. Funktionerne f(x) = k ex er de eneste med denne egenskab.
Af DEFINITIONEN: ln(ax) = x · ln(a) følger, at
Denne funktion er sammensat af ex og proportinaliteten x · ln(a), som begge er differentiable. Heraf følger, at ax er differentiabel, og vi finder
loga(x) er den omvendte funktion til ax d.v.s
Af x = aloga(x) slutter vi, at ln(x) = loga(x) · ln(a), så
| [ loga(x) ]' = | [ln(x)]' ln(a) |
= | 1 x · ln(a) |
. ♦ |
| Desuden er 1 = ln(e) = loga(e) · ln(a) , så loga(e) = | 1 ln(a) |
. |
Læs her om potensfunktioner generelt.
For x > 0 er xa defineret ved
Altså kan xa differentieres sammensat, og vi finder
| (xa)' = (ea · ln(x))' = ea · ln(x) · (a · ln(x))' = xa · | a x |
= a · xa–1 , så |
xn-sætningen gælder for alle n.
| y' = a · | y x |
|---|
| Vi ser, at ligningen y' = a · | y x |
løses af |
Hvis f '(x0) = 0, har funktionens graf vandret tangent i punktet (x0, f(x0)). Tangenten kaldes en vendetangent, hvis grafen krydser over tangenten i (x0, f(x0)).
| Hvis f '(x0) > 0, gælder grænseovergangen | f(x) – f(x0) x – x0 |
→ f '(xo) > 0 for x → x0 | . |
Hvis f(x) har ekstremum i (x0, f(x0)), må f '(x0) = 0. Tænker vi os nemlig, at f.eks. f '(x0) > 0, må f(x) være voksende i et interval omkring x0 i modsætning til antagelsen.
Disse og lignende overvejelser leder til sætningen
Sætningen kan begrundes ud fra middelværdisætningen.
 |
|
| Er både f(x) og g(x) differentiable i x0 gælder | f(x) g(x) |
= | f(x) – f(x0) g(x) – g(x0) |
= |
|
, så |
| De L'Hopitals regel: Hvis f(x0) = g(x0) = 0 og g'(x0) ≠ 0 er | lim x → x0 |
f(x) g(x) |
= | f '(x0) g'(x0) |
. |
I sidste halvdel af 1800-tallet fik begrebet kontinuitet sin (foreløbig) endelige formulering. Problemet bestod i, at udtrykket x → x0 ikke var præcist nok. Man indså, at kontinuiteten lå i, at uanset hvor lille vi forlanger, at forskellen mellem f(x) og f(x0) skal være, kan vi finde et krav til afstanden mellem x og x0.
Man kan forestille sig en udfordring: Find et e som kan parere ethvert d i den forstand, at hvis x's afstand til x0 er mindre end e, bliver afstanden mellem f(x) og f(x0) mindre end d.
Vi ser at f(x) – f(x0) = a x + b – (a x0 + b) = a (x – x0), så
Vi ser at f(x) – f(x0) = x2 – x02 = (x + x0)(x – x0), så
Bemærk forskellen på de to tilfælde. I første tilfælde
kan vi parere ethvert d med et e beregnet ud fra d og funktionens
regneforskrift.
I andet tilfælde må vi desuden tage hensyn til, hvor på grafen
(x0, f(x0)) ligger.
Lad f(x) (blå graf) være differentiabel i intervallet [a; b]. Vi vil bevise, at der mindst et sted mellem x = a og x = b findes et x0, hvor tangenten til f(x) er parallel med sekanten gennem A: (a, f(a)) og B: (b, f(b)).
Sekanten er et liniestykke med ligningen
| y = l(x) = |
f(b) – f(a) b – a |
(x – a) + f(a) . |
Den grønne kurve er grafen for funktionen g(x) = f(x) – l(x) , som også er differentiabel i [a; b] og dermed kontinuert i intervallet. Vi ser, at g(a) = g(b) = 0.
Om funktioner, der er kontinuerte på et lukket interval har vi ovenfor nævnt, at de har både en størsteværdi og en mindsteværdi i intervallet.
Der er nu to situationer:
I der første tilfælde falder graferne for f(x) og l(x) sammen, så alle tangenter er parallelle med sekanten AB.
I andet tilfælde har g(x) mindst ét ekstremum i intervallet. Lad et
ekstremumspunkt være (x0, g(x0)), hvor g(x) er
differentiabel. Som vi har set, kan vi slutte, at
g'(x0) = 0.
Heraf ser vi, at f '(x0) = l'(x0), så
En konsekvens heraf er, at hvis f '(x) > 0 for alle x i intervallet [a; b], vokser funktionen i intervallet.
Vi benytter binomialudvikling på f(x + Δx) = (x + Δx)n og finder
Funktionstilvæksten bliver
I 2. trin finder vi
Grænseovergangen Δx → 0 giver
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]
Antal besøgende siden 1 apr. 2001: