Eulers konstant e

Ved siden af π er Eulers konstant e den mest interessante konstant i matematikken.

Emner

• Definitionen
• e^x og a^x
• Rækkeudviklinger af e
• Summen af tilfældige tal mellem 0 og 1
• Eksperimentet
• Frekvensfunktion og fordelingsfunktion
• Links

Definitionen

e kom til verden i slutningen af 1500 - tallet, da John Napier og Henry Briggs opfandt den naturlige logaritme. I dag anvender vi følgende DEFINITION: ln(x) er den stamfunktion til 1/x , der indeholder punktet (1, 0).

Her er vist, at ln(x) er en logaritmefunktion. ♦

e fastsættes som logaritmens grundtal, så ln(e) = 1. e er altså rod i ligningen ln(x) = 1.

Denne ligning kan løses v.h.a. Newton - iteration af funktionen f(x) = ln(x) – 1.

Indtast en startværdi i intervallet ]0; 7[ og tryk på Beregn for at få iterationens næste værdi.

x: f(x):

Da ln(x) er differentiabel i x = 1 med differentialkvotienten ln'(1) = 1, har vi

ln(1 + x) – ln(1) 1 + x – 1

=

ln(1 + x) x

= ln(1 + x)1/x → 1   for   x → 0   eller

(1 + x)1/x → e   for   x → 0

.

Indtast en x - værdi i nærheden af 0 og tryk på Beregn for at få beregnet (1 + x)^1/x.

x: (1 + x)^1/x:

e^x og a^x

Sætter vi y = ln(x + 1) og dermed x = e^y – 1 i resultatet, får vi, da x → 0 medfører y → 0

så e^x er differentiabel i x = 0 med differentialkvotienten 1.

Heraf følger, at

lim x → x0

ex – ex0 x – x0

=

lim x → x0

ex0

ex–x0 – 1 x – x0

= ex0 ,

så e^x er differentiabel i alle x med differentialkvotienten (e^x)' = e^x. e^x er altså både sin egen differentialkvotient og sin egen stamfunktion. Funktionerne f(x) = k e^x er de eneste med denne egenskab. ♦

For a > 0 er a = e^ln(a), så a^x = (e^ln(a))^x = e^{x ln(a)}, som kan differentieres sammensat

(a^x)' = (e^{x ln(a)})' = e^{x ln(a)}· ln(a) = a^x ln(a).

Rækkeudviklinger af e

Her er vist, at e kan potensrækkeudvikles:

e = 1 +

1 1!

+

1 2!

+

1 3!

+ ... +

1 n!

+ ... = 2.71828182... .

Denne regnemaskine beregner summen af rækkens første n led. Indtast n og klik uden for boksen.

n : giver summen

Her er nævnt, at e kan skrives som en kædebrøk:

e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, ... ] =
2 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+... )))))).

Summen af tilfældige tal mellem 0 og 1

Lægger man tilstrækkelig mange tilfældige tal fra [0; 1] sammen, kan man naturligvis nå vilkårlig højt. Men hvor mange skal man (i gennemsnit) lægge sammen, før summen overstiger f.eks. 1?

Eksperimentet

Vi forestiller os, at vi har en maskine, der forsyner os med en strøm af tilfældige tal i intervallet [0; 1]. Efterhånden som de dukker op, lægger vi dem sammen og noterer, hvor mange, der skal til, før summen overstiger 1. Eksperimentet gentages, til vi har en fornemmelse af, hvad det gennemsnitlige antal tal bliver. I praksis kan det gennemføres ved at benytte regnemaskinen herunder, eller ved at tage en tilfældig tabelkolonne og notere de tre sidste ciffre af en tabelværdi og opfatte det som et tal mellem 0 og 1.

Antal eksperimenter

Frekvensfunktion og fordelingsfunktion

Lad t_i være en følge af tilfældige tal i [0; 1]. Med s_n betegner vi afsnitsfølgen

sn =

n ∑ i=1

ti = t1 + t2 + ... + tn .

s_n er en stokastisk variabel, der antager værdier i intervallet [0; n]

Fordelingsfunktionen F_n(x) er sandsynligheden for, at s_n ≤ x.

F_n(x) = P(s_n ≤ x).

Da tallene antages at være rektangulært fordelt, er

f1(x) =

{

0   for   x < 0 1   for   0 ≤ x ≤ 1 0   for   1 < x

og   F1(x) =

{

0   for   x < 0 x   for   0 ≤ x ≤ 1 1   for   1 < x

f2(x) =

{

0 x –x + 2 0

for   x < 0   for   0 ≤ x ≤ 1   for   1 ≤ x ≤ 2   for   2 < x

og   F2(x) =

{

0 ½x2 –½x2 + 2x – 1 1

for   x < 0   for   0 ≤ x ≤ 1   for   1 ≤ x ≤ 2   for   2 < x

f3(x) =

ì ï í ï î

0 ½x2 –x2 + 3x – 3/2 ½x2 – 3x + 9/2 0

for   x < 0   for   0 ≤ x ≤ 1   for   1 ≤ x ≤ 2   for   2 ≤ x ≤ 3   for   3 < x

og   F3(x) =

ì ï í ï î

0 1/6 x3 –1/3 x3 + 3/2 x2 – 3/2 x + ½ 1/6 x3 – 3/2 x2 + 9/2 x – 7/2 1

for   x < 0   for   0 ≤ x ≤ 1   for   1 ≤ x ≤ 2   for   2 ≤ x ≤ 3   for   3 < x

Generelt

fn(x) =

{

0 1/(n–1)! xn–1 ... 0

for   x < 0   for   0 ≤ x ≤ 1   for   1 ≤ x ≤ n   for   n < x

og   Fn(x) =

{

0 1/n! xn ... 1

for   x < 0   for   0 ≤ x ≤ 1   for   1 ≤ x ≤ n   for   n < x

Sandsynligheden for, at i tal lagt sammen netop overstiger 1 er

Fi–1(1) – Fi(1) =

1 (i – 1)!

–

1 i!

=

i – 1 i!

så middelværdien af i bliver

μ =

∞ ∑ i = 1

i

i – 1 i!

=

∞ ∑ i = 2

1 (i – 2)!

= 1 + 1 +

1 2!

+

1 3!

+ ...

hvilket netop er rækkeudviklingen af e.

Der skal altså i gennemsnit lægges e tal fra [0; 1] sammen, for at summen overstiger 1.

Links

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]