Kædelinien

Dette projekt handler om at finde ud af hvilken kurve, en hængende kæde beskriver.

Grafen for   f(x)   =   sx(ex/sx + e–x/sx) / 2

Kædestykket fra O til P er kun påvirket af tyngden og en spænding i kæden. Lad spændingen i kæden i punktet P(x, y) være s = (sx, sy). Da s følger kurvens tangent, er s = (sx, 0) vandret i kurvens laveste punkt O. Da kæden er i hvile, er kræfterne i ligevægt. Det betyder, at det vandrette træk sx i P er lig det vandrette træk i O.

Den vandrette del sx er konstant, hvorimod den lodrette del sy bærer kædestykket fra O til P. Det betyder, at sy kan sættes lig buelængden fra O til P

Ved differentiation af (3) fås

Sættes y' = z , fås differentialligningen

For at integrere dette bruger vi en smart substitution

Integrationen af (6) giver nu

I kurvens laveste punkt er x = 0 og z = y' = 0 , hvoraf t = 0, så konst = 0. Vi finder

Kurven kaldes kædelinien.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

De hyperbolske funktioner

Funktionerne

kaldes henholdsvis sinus hyperbolsk og cosinus hyperbolsk.

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Der gælder

[ Toppen af siden ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]