Komplekse tal og funktioner

Hvis de reelle tal svarer til punkterne på en tallinie, hvad svarer så til en plans punkter ?

Emner

Komplekse tal

Regneregler for komplekse tal

Kompleks konjugering z^~ = a – ib
Den geometriske tolkning

Modulus og argument

zⁿ = 1
Eksponentialfunktionen e^z = e^{x + iy}
sin(z), cos(z) og tan(z)
Den naturlige logaritme ln(z)
Komplekse funktioner f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

Differentiabilitet

(e^z)' = e^z

Komplekse tal

På samme måde som man skriver et punkts koordinater P(a, b), kan man skrive et komplekst tal på formen z(a, b). a kaldes tallets realdel og b imaginærdelen.
Et sædvanligt reelt tal a svarer så til det komplekse tal (a, 0).

Regneregler for komplekse tal

Er z₁ = (a₁, b₁) , z₂ = (a₂, b₂) og |z|² = a² + b², gælder

z₁ + z₂ = (a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂, b₁ + b₂)
z₁ – z₂ = (a₁, b₁) – (a₂, b₂) = (a₁ – a₂, b₁ – b₂)
z₁ · z₂ = (a₁, b₁) · (a₂, b₂) = (a₁a₂ – b₁b₂, a₁b₂ + a₂b₁)
||z₁| – |z₂|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| (Trekantuligheden)

De to første regler overrasker vel ikke; men den tredie! F.eks. er

(0, 1) · (0, 1) = (0 – 1, 0 + 0) = (–1, 0) = –1

Når vi udvider vor talverden fra den reelle akse til den komplekse plan, har ligningen z² = –1 altså en løsning (0, 1)! Det er en væsentlig grund til at interessere sig for komplekse tal.

Der er tradition for at kalde tallet i = (0, 1) for den imaginære enhed, og man skriver ofte

z = (a, b) = a + ib , i² = –1 .

Division.

a₁ + ib₁
a₂ + ib₂

= x + iy

betyder

a₁ + ib₁ = (a₂ + ib₂) (x + iy) eller

a₁ + ib₁ = a₂x – b₂y + i(a₂y + xb₂),

a₂x – b₂y = a₁

b₂x + a₂y = b₁.

Disse ligninger kan løse v.h.a. determinantmetoden, og vi finder

(x, y) =

(

a₁a₂ + b₁b₂
a₂² + b₂²

a₂b₁ – a₁b₂
a₂² + b₂²

)

Regnereglerne for komplekse tal kan altså skrives

z₁ + z₂ = a₁ + ib₁ + a₂ + ib₂ = a₁ + a₂ + i(b₁ + b₂)
z₁ – z₂ = a₁ + ib₁ – (a₂ + ib₂) = a₁ – a₂ + i(b₁ – b₂)
z₁ · z₂ = (a₁ + ib₁) · (a₂ + ib₂) = a₁a₂ – b₁b₂ + i(a₁b₂ + a₂b₁)
z₁
z₂ = a₁ + ib₁
a₂ + ib₂ = a₁a₂ + b₁b₂
a₂² + b₂² + i a₂b₁ – a₁b₂
a₂² + b₂²

Ë Denne regnemaskine giver dig sum, differens, produkt og kvotient af to komplekse tal.
Indtast værdierne for de to komplekse tal og klik uden for boksen.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Kompleks konjugering z^~ = a – ib

z = a + ib og z^~ = a – ib kaldes hinandens konjugerede. Vi ser, at

z + z^~ = a + ib + a – ib = 2a

z – z^~ = a + ib – (a – ib) = i2b

z · z^~ = (a + ib) · (a – ib) = a² + b² = |z|²

|z|

modul

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Den geometriske tolkning

I den komplekse plan kaldes 1-aksen den reelle akse og 2-aksen den imaginære. Det komplekse tal a + ib afsættes i punktet (a, b).

Modulus og argument

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

Anvender vi i stedet polære koordinater, bestemmes punktets sted af modulus r = |z| (afstanden til nul-punktet) og argument φ (retningsvinklen til punktet). Sammenhængen er givet ved

a = r cos(φ) , b = r sin(φ) og

r =

√

a² + b²

og φ = tan^–1(

b
a

Man skriver

z = a + ib = r_φ,
re(z) = a , im(z) = b,
mod(z) = |z| = r , arg(z) = φ

Af multiplikationsreglen z₁ · z₂ = (a₁, b₁) · (a₂, b₂) = (a₁a₂ – b₁b₂, a₁b₂ + a₂b₁) ser vi, at

|z₁ · z₂|² = (a₁a₂)² + (b₁b₂)² – 2a₁a₂b₁b₂ + (a₁b₂)² + (a₂b₁)² + 2a₁a₂b₁b₂ =
(a₁² + b₁²)(a₂² + b₂²) = |z₁|² · |z₁|². Altså

Man multiplicerer to komplekse tal ved at multiplicere deres moduler.

tan(arg(z₁ · z₂)) =

a₁b₂ + a₂b₁

a₁a₂ – b₁b₂

b₁/a₁ + b₂/a₂

1 – b₁b₂/a₁a₂

tan(arg(z₁)) + tan(arg(z₂))

1 – tan(arg(z₁))·tan(arg(z₂))

tan(arg(z₁) + arg(z₂))

, altså

Man multiplicerer to komplekse tal ved at addere deres argumenter.

(r₁)_φ₁ · (r₂)_φ₂ = (r₁r₂)_φ₁+φ₂ = r₁r₂(cos(φ₁+φ₂) + i sin(φ₁+φ₂)).

Regnemaskinen regner et komplekst tal om mellem formerne z = a + ib = r_φ.
Ændr værdien for a , b , r eller φ og klik uden for boksen.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

zⁿ = 1

Ligningen zⁿ = 1 , n ∈ {1, 2, 3, ...} løses naturligvis af z = 1, men er der andre løsninger ?

Beklager, din browser kan ikke vise applets.

Er z = r_φ er
zⁿ = (rⁿ)_nφ =
rⁿ(cos(nφ) + i sin(nφ))
ifølge det foregående. Ligningen zⁿ = 1 løses derfor af rⁿ = 1, nφ = 2π p eller r = 1, φ = 2π p / n med p ∈ {0, 1, ... , n–1}. De n løsninger ligger altså på enhedscirklen med vinkelafstenden 2π / n. Da desuden z = 1 er en løsning, er løsningsmængden fastlagt.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

e^z = e^{x + iy}

Vi tror på, at de sædvanlige potensregneregler også gælder i den komplekse verden og skriver e^{x + iy} = e^xe^iy, og ser først på den komplekse del.

e^iy

Vi ser på funktionen f(y) = cos(y) + i sin(y). Ved differentiation med hensyn til y fås

df(y)
dy

= –sin(y) + i cos(y) = i · (cos(y) + i sin(y)) = i · f(y)

som er, hvad man måtte forvente, hvis f(y) = e^iy kan differentieres efter reglerne for differentiation af sammensatte funktioner. Det leder os til følgende

DEFINITION: e^z = e^{x + iy} = e^x(cos(y) + i sin(y))

Vi ser, at

|e^{x + iy}| = e^x

arg(e^{x + iy}) = y.

Denne regnemaskine regner om mellem siderne i e^{x + iy} = a + ib.
Ændr værdierne for x , y eller a , b og klik uden for boksen.

Her er vist, at (e^z)' = e^z.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

cos(z), sin(z) og tan(z)

Det følger af definitionen på e^z, at e^iy + e^–iy = 2 cos(y) og e^iy – e^–iy = 2i sin(y). Det leder os til følgende

DEFINITION: cos(z) =

e^iz + e^–iz
2

, sin(z) =

e^iz – e^–iz
2i

og tan(z) =

sin(z)
cos(z)

Af e^iz + e^–iz = 2 cos(z) og e^iz – e^–iz = 2i sin(z) ser vi, at

e^iz = cos(z) + i sin(z)

Euler

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Den naturlig logaritme ln(z)

Som for reelle funktioner definerer vi, at logartimefunktionen og eksponentialfunktionen er hinandens omvendte. D.v.s. z = e^{a + ib} giver ln(z) = a + ib. Men z = (e^a)_b viser, at |z| = e^a eller a = ln|z| og b = arg(z). Konklusion

ln(z) = ln|z| + i arg(z).

Bemærk, at ln(z) (ligesom f.eks. sin^–1) ikke i streng forstand er en funktion, da arg(z) kun er bestemt pånær multipla af 2π.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Komplekse funktioner f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

Generelt

En kompleks funktion f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) er en funktion af to uafhængige variable.
Dm(f) og Vm(f) er begge (delmængder af) den komplekse plan. u og v er relle funktioner af de reelle variable x og y.

Skal en reel funktion u(x, y) af to variable differentieres med hensyn til x, må man skelne mellem funktionens direkte afhængighed af x og dens afhængighed af x gennem y som en sammensat funktion. De to størrelser skrives

∂u(x, y)
∂x

∂u(x, y)
∂y

dy
dx

Differentiabilitet

For komplekse funktioner defineres differentiabilitet på samme måde, som for reelle. Er f(z) differentiabel, har differensbrøken

Δf(z)
Δz

u(x+Δx, y+Δy) + iv(x+Δx, y+Δy) – u(x, y) – iv(x, y)
Δx + iΔy

u(x+Δx, y+Δy) – u(x, y)
Δx + iΔy

+ i

iv(x+Δx, y+Δy) – v(x, y)
Δx + iΔy

en grænseværdi f '(z) for Δz → 0.

Tricket er nu at lade Δx og Δy gå mod 0 hver for sig. Lader vi først Δy → 0, finder vi

lim
Δz → 0

Δf(z)
Δz

lim
Δx → 0

u(x+Δx, y) – u(x, y)
Δx

+ i

lim
Δx → 0

v(x+Δx, y) – v(x, y)
Δx

∂u(x, y)
∂x

+ i

∂v(x, y)
∂x

= f '(z) .

Lader vi først Δx → 0, finder vi

lim
Δz → 0

Δf(z)
Δz

lim
Δy → 0

u(x, y+Δy) – u(x, y)
iΔy

+ i

lim
Δy → 0

v(x, y+Δy) – v(x, y)
iΔy

–i

∂u(x, y)
∂y

∂v(x, y)
∂y

= f '(z) .

Konklusion:

f '(z) =

∂u(x, y)
∂x

+ i

∂v(x, y)
∂x

∂v(x, y)
∂y

– i

∂u(x, y)
∂y

I moderne litteratur skrives dette resultat mere kompakt

f '(z) = u_x + iv_x = v_y – iu_y .

Hvis altså f(z) er differentiabel, er

u_x = v_y

v_x = –u_y .

Man kan vise, at det omvendte også gælder.

(e^z)' = e^z

Vi har defineret

e^z = e^{x + iy} = e^x(cos(y) + i sin(y))

Her er u(x, y) = e^xcos(y) og v(x, y) = e^xsin(y), så u_x = v_y = e^xcos(y) og v_x = –u_y = e^xsin(y). Følgelig er f(z) differentiabel og (e^z)' = u_x + iv_x = e^xcos(y) + ie^xsin(y), så

(e^z)' = e^z

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]