Ligninger og Uligheder

Løsning af Ligninger og Uligheder er matematikkens "rugbrød". Vi ser på

• Ligninger
• Uligheder
• Grafisk løsning af uligheder
• To ligninger med to ubekendte
• Andengradsligninger ax² + bx + c = 0
• Eksponentielle ligninger a^x = c
• Trigonometriske ligninger

Andet

• Beviser

Ligninger

Skal man løse en ligning, er strategien at forenkle den, indtil den (forhåbentlig) er på formen x = "tal".
Da "=" (som en slags skålvægt i balance) viser, at de to sider er lige tunge, er følgende operationer lovlige

1. at lægge samme størrelse til på begge sider af "="
2. at trække samme størrelse fra på begge sider af "="
3. at gange med samme størrelse (som ikke må være 0) på begge sider af "="
4. at dividere med samme størrelse (som ikke må være 0) på begge sider af "="

I en lineær (eller 1.grads) ligning optræder kun størrelser af formen a·x og konstanter.

Her finder du forskellige interaktive træningsopgaver.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Uligheder

Skal man løse en ulighed, er strategien at forenkle den, indtil løsningen kan ses direkte (f.eks x < "tal").
Da "<" betyder, at venstre side af "skålvægten" er lettere end højre, er følgende operationer lovlige

1. at lægge samme størrelse til på begge sider af ulighedstegnet
2. at trække samme størrelse fra på begge sider af ulighedstegnet
3. at gange med samme positive størrelse på begge sider af ulighedstegnet
4. at gange med samme negative størrelse på begge sider af ulighedstegnet, hvis ulighedstegnet vendes
5. at dividere med samme positive størrelse på begge sider af ulighedstegnet
6. at dividere med samme negative størrelse på begge sider af ulighedstegnet, hvis ulighedstegnet vendes

(Bemærk, at der ikke må ganges eller divideres med 0)

Her finder du forskellige interaktive træningsopgaver.

Grafisk løsning af uligheder

Grafikken illustrerer uligheden f(x) > g(x).
Uligheden er opfyldt, hvis (f(x) > g(x)) = 1. Er (f(x) > g(x)) = 0 er uligheden ikke opfyldt.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

To ligninger med to ubekendte

Er ligningerne a₁x + b₁y = c₁ og a₂x + b₂y = c₂, skal vi finde en eventuel løsning.
Ganger vi den første igennem med b₂ og den anden med b₁ (a₂ og a₁), får vi

a₁b₂x + b₁b₂y = c₁b₂   og   a₂a₁x + a₂b₁y = a₂c₁
a₂b₁x + b₂b₁y = c₂b₁   og   a₁a₂x + a₁b₂y = a₁c₂.

Ved subtraktion finder vi

(a₁b₂ – a₂b₁)x = c₁b₂ – c₂b₁   og   (a₁b₂ – a₂b₁)y = a₂c₁ – a₁c₂.

Er nu a₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0, kan vi dividere og finder løsningen

x =

c1b2 – c2b1 a1b2 – a2b1

og   y =

a1c2 – a2c1 a1b2 – a2b1

.

Er derimod a₁b₂ – a₂b₁ = 0, er der to tilfælde:

• Er c₁b₂ – c₂b₁ = a₁c₂ – a₂c₁ = 0, der de to ligninger proportionale, så ethvert (x, y), der passer i én af dem, er en løsning.
• Ellers er der ingen løsning.

Denne regnemaskine beregner eventuelle løsninger til ligningerne a₁x + b₁y = c₁ og a₂x + b₂y = c₂.
Ændr værdierne for konstanterne og klik uden for boksen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Andengradsligninger

Ligningen a x² + bx + c = 0 (med a ≠ 0) kaldes en andengradsligning, fordi den ukendte x optræder i anden potens.

Den karakteristiske størrelse for andengradsudtryk er diskriminanten d, som beregnes af

d = b² – 4 a c.

Antallet af løsninger til andengradsligningen afhænger af d's fortegn

	d > 0: to løsninger x1 =	–b – √d 2a	og   x2 =	–b + √d 2a	.
	d = 0: én løsning x =	–b 2a
	d < 0: ingen løsning .

Her er et bevis.
Ændr værdierne for a, b eller c og klik uden for boksen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Eksponentielle ligninger

Ligningen a^x = c kaldes eksponentiel, fordi den ukendte x står som eksponent.

Anvendes logaritmeregnereglen log(a^r) = r log(a) på begge sider af ligningen, fås x log(a) = log(c). Løsningen er altså

x =

log(c) log(a)

.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Trigonometriske ligninger

Trigonometriske grundligninger

Ligninger af form cos(x) = a , sin(x) = a og tan(x) = a kaldes Trigonometriske grundligninger.
En løsning til en grundligning skrives ofte

x = cos^–1(a) , x = sin^–1(a) , x = tan^–1(a)

Regnemaskinerne giver de løsninger der for cos ligger i intervallet [0 ; π] og for sin og tan ligger i intervallet [–½π , ½π].

Men grundligningerne har typisk flere løsninger. Som vist her, er

cos(–x) = cos(x) , sin(π–x) = sin(x) og tan(π+x) = tan(x).

Det vil sige, at hvis x₀ er en løsning til cos(x) = a er –x₀ det også. Den fuldstændige løsning til ligningen er følgelig

cos(x) = a har L = {x|x = x₀ + p2π eller x = –x₀ + p2π , hvor p er et helt tal}.

På tilsvarende måde ser vi, at den fuldstændige løsning til ligningen sin(x) = a er

sin(x) = a har L = {x|x = x₀ + p2π eller x = π – x₀ + p2π , hvor p er et helt tal}.

Og for ligningen tan(x) = a gælder

tan(x) = a har L = {x|x = x₀ + pπ , hvor p er et helt tal}.

Ligningen a sin(x) + b cos(x) = c

Lad r = √(a² + b²). Da a² + b² = r² eller (a/r)² + (b/r)² = 1 findes der et punkt på enhedscirklen, hvis koordinater er (a/r, b/r). Altså findes et tal y, så cos(y) = a / r og sin(y) = b / r. Divideres ligningen a sin(x) + b cos(x) = c igennem med r, fås

cos(y) sin(x) + sin(y) cos(x) = c / r.

Bruger vi additionsformlen for sin(u + v), kan ligningen skrives

sin(y + x) = c / r,

som er en grundligning for sinus. Den løses, og y sættes lig cos^–1(a / r).

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Beviser

Andengradsligningens løsninger

Vi ser først på ligningen x² = q. Der er 3 tilfælde:

q > 0: x = –√q   eller   x = √q
q = 0: x = 0
q < 0: ingen løsninger (da intet kvadrat er negativt)

Så ser vi på x² + px + q = 0 eller x² + px = –q. Tricket er at lægge "noget" til på begge sider af ligningen, så venstre side bliver på formen (a + b)².
x² + px + (p/2)² = –q + (p/2)² eller (x + p/2)² = (p² – 4q) / 4 = d / 4, hvor vi har sat d = p² – 4q.
Er d > 0 har vi x + p/2 = –√d / 2 eller x + p/2 = √d / 2.
Vi ser, at løsningen bliver
x = (–p –√d) / 2   eller   x = (–p + √d) / 2.

Ved ligningen a x² + bx + c = 0 eller a x² + bx = –c (hvor a ikke er 0), kan vi gå frem på samme måde.
x² + b/a x = –c/a eller ved at addere (b/2a)² på begge sider
(x + b/2a)² = (b² – 4ac) / 4a² = d / 4a², hvor d = b² – 4ac.
Er d > 0, har vi (x + b/2a) = –√d / 2a eller (x + b/2a) = –√d / 2a. Altså bliver løsningen

x = (–b –√d) / 2a   eller   x = (–b + √d) / 2a.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]