Ligninger og Uligheder

Løsning af Ligninger og Uligheder er matematikkens "rugbrød". Vi ser på

Andet

Ligninger

Skal man løse en ligning, er strategien at forenkle den, indtil den (forhåbentlig) er på formen x = "tal".
Da "=" (som en slags skålvægt i balance) viser, at de to sider er lige tunge, er følgende operationer lovlige

  1. at lægge samme størrelse til på begge sider af "="
  2. at trække samme størrelse fra på begge sider af "="
  3. at gange med samme størrelse (som ikke må være 0) på begge sider af "="
  4. at dividere med samme størrelse (som ikke må være 0) på begge sider af "="

I en lineær (eller 1.grads) ligning optræder kun størrelser af formen a·x og konstanter.

Her finder du forskellige interaktive træningsopgaver.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Uligheder

Skal man løse en ulighed, er strategien at forenkle den, indtil løsningen kan ses direkte (f.eks x < "tal").
Da "<" betyder, at venstre side af "skålvægten" er lettere end højre, er følgende operationer lovlige

  1. at lægge samme størrelse til på begge sider af ulighedstegnet
  2. at trække samme størrelse fra på begge sider af ulighedstegnet
  3. at gange med samme positive størrelse på begge sider af ulighedstegnet
  4. at gange med samme negative størrelse på begge sider af ulighedstegnet, hvis ulighedstegnet vendes
  5. at dividere med samme positive størrelse på begge sider af ulighedstegnet
  6. at dividere med samme negative størrelse på begge sider af ulighedstegnet, hvis ulighedstegnet vendes

(Bemærk, at der ikke må ganges eller divideres med 0)

Her finder du forskellige interaktive træningsopgaver.

Grafisk løsning af uligheder

Grafikken illustrerer uligheden f(x) > g(x).
Uligheden er opfyldt, hvis (f(x) > g(x)) = 1. Er (f(x) > g(x)) = 0 er uligheden ikke opfyldt.

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

To ligninger med to ubekendte

Er ligningerne a1x + b1y = c1 og a2x + b2y = c2, skal vi finde en eventuel løsning.
Ganger vi den første igennem med b2 og den anden med b1 (a2 og a1), får vi

Ved subtraktion finder vi

Er nu a1b2 – a2b1 ≠ 0, kan vi dividere og finder løsningen

Er derimod a1b2 – a2b1 = 0, er der to tilfælde:

Her er en geometrisk illustration.

Denne regnemaskine beregner eventuelle løsninger til ligningerne a1x + b1y = c1 og a2x + b2y = c2.
Ændr værdierne for konstanterne og klik uden for boksen

(a1, b1, c1) = ( , , ) og (a2, b2, c2) = ( , , ) giver (x, y) = ( )

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Andengradsligninger

Ligningen a x2 + bx + c = 0 (med a ≠ 0) kaldes en andengradsligning, fordi den ukendte x optræder i anden potens.

Den karakteristiske størrelse for andengradsudtryk er diskriminanten d, som beregnes af

Antallet af løsninger til andengradsligningen afhænger af d's fortegn

Her er et bevis.
Ændr værdierne for a, b eller c og klik uden for boksen

a: b: c: giver
d: x1: x2:

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Eksponentielle ligninger

Ligningen ax = c kaldes eksponentiel, fordi den ukendte x står som eksponent.

Anvendes logaritmeregnereglen log(ar) = r log(a) på begge sider af ligningen, fås x log(a) = log(c). Løsningen er altså

Regnemaskinen beregner løsningen til ligningen ax = c.
Ændr værdierne for a eller c og klik uden for boksen

a = og c = giver x =

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Trigonometriske ligninger

Trigonometriske grundligninger

Ligninger af form cos(x) = a , sin(x) = a og tan(x) = a kaldes Trigonometriske grundligninger.
En løsning til en grundligning skrives ofte

Regnemaskinerne giver de løsninger der for cos ligger i intervallet [0 ; π] og for sin og tan ligger i intervallet [–π , π].

cos(x) = x =
sin(x) = x =
tan(x) = x =

Men grundligningerne har typisk flere løsninger. Som vist her, er

Det vil sige, at hvis x0 er en løsning til cos(x) = a er –x0 det også. Den fuldstændige løsning til ligningen er følgelig

På tilsvarende måde ser vi, at den fuldstændige løsning til ligningen sin(x) = a er

Og for ligningen tan(x) = a gælder

Ligningen a sin(x) + b cos(x) = c

Lad r = √(a2 + b2). Da a2 + b2 = r2 eller (a/r)2 + (b/r)2 = 1 findes der et punkt på enhedscirklen, hvis koordinater er (a/r, b/r). Altså findes et tal y, så cos(y) = a / r og sin(y) = b / r. Divideres ligningen a sin(x) + b cos(x) = c igennem med r, fås

Bruger vi additionsformlen for sin(u + v), kan ligningen skrives

som er en grundligning for sinus. Den løses, og y sættes lig cos–1(a / r).

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Beviser

Andengradsligningens løsninger

Vi ser først på ligningen x2 = q. Der er 3 tilfælde:

Så ser vi på x2 + px + q = 0 eller x2 + px = –q. Tricket er at lægge "noget" til på begge sider af ligningen, så venstre side bliver på formen (a + b)2.
x2 + px + (p/2)2 = –q + (p/2)2 eller (x + p/2)2 = (p2 – 4q) / 4 = d / 4, hvor vi har sat d = p2 – 4q.
Er d > 0 har vi x + p/2 = –√d / 2 eller x + p/2 = √d / 2.
Vi ser, at løsningen bliver
x = (–p –√d) / 2   eller   x = (–p + √d) / 2.

Ved ligningen a x2 + bx + c = 0 eller a x2 + bx = –c (hvor a ikke er 0), kan vi gå frem på samme måde.
x2 + b/a x = –c/a eller ved at addere (b/2a)2 på begge sider
(x + b/2a)2 = (b2 – 4ac) / 4a2 = d / 4a2, hvor d = b2 – 4ac.
Er d > 0, har vi (x + b/2a) = –√d / 2a eller (x + b/2a) = –√d / 2a. Altså bliver løsningen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]