Løsning af Ligninger og Uligheder er matematikkens "rugbrød". Vi ser på
Andet
Skal man løse en ligning, er strategien at forenkle den, indtil den (forhåbentlig) er på formen x = "tal".
Da "=" (som en slags skålvægt i balance) viser, at de to sider er lige tunge, er følgende operationer lovlige
I en lineær (eller 1.grads) ligning optræder kun størrelser af formen a·x og konstanter.
Her finder du forskellige interaktive
træningsopgaver.
Skal man løse en ulighed, er strategien at forenkle den, indtil løsningen kan ses direkte (f.eks x < "tal").
Da "<" betyder, at venstre side af "skålvægten" er lettere end højre, er følgende operationer lovlige
(Bemærk, at der ikke må ganges eller divideres med 0)
Her finder du forskellige interaktive
træningsopgaver.
Grafikken illustrerer uligheden f(x) > g(x).
Uligheden er opfyldt, hvis (f(x) > g(x)) = 1.
Er (f(x) > g(x)) = 0 er uligheden ikke opfyldt.
Er ligningerne a1x + b1y = c1 og a2x
+ b2y = c2, skal vi finde en eventuel løsning.
Ganger vi den første igennem med
b2 og den anden med b1 (a2 og
a1), får vi
Ved subtraktion finder vi
Er nu a1b2 a2b1 ≠ 0, kan vi dividere og finder løsningen
x = |
c1b2 c2b1 a1b2 a2b1 |
og y = |
a1c2 a2c1 a1b2 a2b1 |
. |
Er derimod a1b2 a2b1 = 0, er der to tilfælde:
Denne
regnemaskine beregner eventuelle løsninger til
ligningerne a1x + b1y = c1 og
a2x + b2y = c2.
Ændr værdierne for konstanterne og klik uden for boksen
Ligningen a x2 + bx + c = 0 (med a ≠ 0) kaldes en andengradsligning, fordi den ukendte x optræder i anden potens.
Den karakteristiske størrelse for andengradsudtryk er diskriminanten d, som beregnes af
Antallet af løsninger til andengradsligningen afhænger af d's fortegn
d > 0: to løsninger x1 = |
b √d 2a |
og x2 = |
b + √d 2a |
. | |
d = 0: én løsning x = |
b 2a |
||||
d < 0: ingen løsning . |
Her er et bevis.
Ændr værdierne for a, b eller c og klik uden for boksen
Ligningen ax = c kaldes eksponentiel, fordi den ukendte x står som eksponent.
Anvendes logaritmeregnereglen log(ar) = r log(a) på begge sider af ligningen, fås x log(a) = log(c). Løsningen er altså
x = |
log(c) log(a) |
. |
Ligninger af form cos(x) = a , sin(x) = a og tan(x) = a kaldes Trigonometriske
grundligninger.
En løsning til en grundligning skrives ofte
Regnemaskinerne giver de løsninger der for cos
ligger i intervallet [0 ; π] og for sin og tan ligger
i intervallet [½π , ½π].
Men grundligningerne har typisk flere løsninger. Som vist her, er
Det vil sige, at hvis x0 er en løsning til cos(x) = a er x0 det også. Den fuldstændige løsning til ligningen er følgelig
På tilsvarende måde ser vi, at den fuldstændige løsning til ligningen sin(x) = a er
Og for ligningen tan(x) = a gælder
Lad r = √(a2 + b2). Da a2 + b2 = r2 eller (a/r)2 + (b/r)2 = 1 findes der et punkt på enhedscirklen, hvis koordinater er (a/r, b/r). Altså findes et tal y, så cos(y) = a / r og sin(y) = b / r. Divideres ligningen a sin(x) + b cos(x) = c igennem med r, fås
Bruger vi additionsformlen for sin(u + v), kan ligningen skrives
som er en grundligning for sinus. Den løses, og y sættes lig cos1(a / r).
Vi ser først på ligningen x2 = q. Der er 3 tilfælde:
Så ser vi på x2 + px + q = 0 eller x2 + px = q. Tricket er at lægge "noget" til på begge
sider af ligningen, så venstre side bliver på formen (a + b)2.
x2 + px + (p/2)2 = q + (p/2)2 eller
(x + p/2)2 = (p2 4q) / 4 = d / 4, hvor vi har sat d = p2 4q.
Er d > 0 har vi x + p/2 = √d / 2 eller x + p/2 = √d / 2.
Vi ser, at løsningen bliver
x = (p √d) / 2 eller x = (p + √d) / 2.
Ved ligningen a x2 + bx + c = 0 eller a x2 + bx = c (hvor a ikke er 0), kan vi gå frem på samme måde.
x2 + b/a x = c/a eller ved at addere (b/2a)2 på begge sider
(x + b/2a)2 = (b2 4ac) / 4a2 = d / 4a2, hvor d = b2 4ac.
Er d > 0, har vi (x + b/2a) = √d / 2a eller (x + b/2a) = √d / 2a. Altså bliver løsningen
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]