OKmatematik

er en alternativ fremstilling af differentialregningen.

Vi ser på funktioner i nærheden af x. og indfører en særlig OK - klasse af "pæne" funktioner.

Emner

Andet

ε

Vi tænker os, at der ud over de reelle tal R findes en "uendelig" lille størrelse ε. Den fastlægges ved

En særegen egenskab ved ε er, at der gælder

Bevis: Lad r være et tilfældigt tal i R+. Af ε's egenskaber følger, at –r / abs(a) < ε < r / abs(a) eller –r < a · ε < r. Sætningen følger af regnereglerne for uligheder.

OK - klassen

Klassen OK består af funktioner o(h), hvis grafer går "pænt" gennem (0, 0). Et "lille" stykke ved siden af 0 må funktionsværdien være "lille". Man siger, at o(h) er kontinuert i h = 0. Vi kræver, at

Eksempler på funktioner i OK

At a1h + a2h2 + ... + anhn ∈ OK følger direkte af ε's egenskaber.

Lad 0 < r < 1 og a > 0. Der gælder

Det ses, at ah – 1 er en o- funktion.

Sætninger om OK - klassens funktioner

Er o , o1 og o2 ∈ OK gælder

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Kontinuitet

En funktion f(x) kaldes kontinuert i x, hvis der findes en o-funktion så

Kravet betyder, at f(x + h) – f(x) er "lille", hvis h er "lille", så grafen for f "hænger sammen" i en omegn af grafpunktet (x, f(x)).

Sætninger om kontinuerte funktioner

Er f og g kontinuerte i x, gælder

f(x + h) = f(x) + o1(h) og g(x + h) = g(x) + o2(h), og dermed
f(x + h) ± g(x + h) = f(x) ± g(x) + o1(h) ± o2(h) = f(x) ± g(x) + o(h).

Desuden er f(x + h) · g(x + h) = (f(x) + o1(h)) · (g(x) + o2(h)) =
f(x) · g(x) + f(x) · o2(h) + g(x) · o1(h) + o1(h) · o2(h) = f(x) · g(x) + o(h)
.

For g(x) ≠ 0 gælder   f(x + h)
g(x + h)
= f(x) + o1(h)
g(x) + o2(h)
= f(x)
g(x) + o2(h)
+ o1(h)
g(x) + o2(h)
= f(x)
g(x)
+ o(h).

Vi har altså følgende sætninger

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Differentialregning

Gennem grafpunktet (x0, f(x0)) kan der tegnes mange rette linier. Deres ligninger er l(x) = a(x – x0) + f(x0). De adskiller sig ved deres hældningskoefficienter a.
Et "lille" stykke h ved siden af x0 er forskellen mellem funktionsværdierne
f(x0 + h) – l(x0 + h) = f(x0 + h) – [ a(x0 + h – x0) + f(x0) ] = f(x0 + h) – f(x0) – a h = o(h) – a h = o1(h), hvis f(x) er kontinuert i x0.

Hvis der i mængden af rette linier gennem (x0, f(x0)) findes n, s forskellen kan skrives f(x0 + h) – f(x0) – a h = h · o(h), kaldes den tangenten til grafen, og f kaldes differentiabel i punktet.
Tangentens hældningskoefficient i punktet (x0, f(x0)) kaldes traditionelt f '(x0).

For differentiable funktioner gælder altså

Vi ser, at f(x + h) – f(x) = f '(x) · h + h · o(h) = o1(h), så differentiabilitet medfører kontinuitet.

Desuden ser vi, at f(x + h) – f(x) har samme fortegn som f '(x) · h, så

Der er er tradition for at kalde df(x) = f '(x) · h for funktionens differentiale og f '(x) = df(x) / h for funktionens differentialkvotient.

Sætninger om differentiable funktioner

Er f og g differentiable i x, gælder

f(x + h) = f(x) + f '(x) · h + h · o1(h) og g(x + h) = g(x) + g'(x) · h + h · o2(h)

f(x) ± g(x)
f(x + h) ± g(x + h) = f(x) ± g(x) + (f '(x) ± g'(x)) · h + h · o1(h) + h · o2(h) = f(x) ± g(x) + (f '(x) ± g'(x)) + h · o(h).

f(x) · g(x)

f(x + h) · g(x + h) = (f(x) + f '(x) · h + h · o1(h)) · (g(x) + g'(x) · h + h · o2(h)) =
f(x) · g(x) + (f '(x) · g(x) + f(x) · g'(x)) · h + (f(x) · o2(h) + g(x) · o1(h)) · h + h2 · o1(h) · o2(h) =
f(x) · g(x) + (f '(x) · g(x) + f(x) · g'(x)) · h + h · o(h)
.

1 / g(x)

Er g(x) ≠ 0, har vi med G(x) = 1 / g(x) ifølge tilnærmelses formlen for 1 / (a + h)

G(x + h) = 1
g(x + h)
= 1
g(x) + g'(x) · h + h · o(h)
= 1
g(x)
– h g'(x) + o(h)
g(x)2
= G(x) – h g'(x)
g(x)2
+ h o1(h).
f(x) / g(x)

Ved hjælp af reciproksætningen kan vi differentiere f(x) / g(x) for g(x) ≠ 0

f(g(x))

Er g(x) differentiabel i og f(y) differentiabel i y = g(x), er

f(g(x + h)) = f(g(x) + g'(x) · h + h · o(h)) = f(y + h1) = f(y) + f '(y) · h1 + h1 · o(h1) =
f(g(x)) + f '(g(x)) · (g'(x) · h + h · o(h)) + h1 · o(h1) = f(g(x)) + f '(g(x)) · g'(x) · h + h2 · o(h2)
.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Elementære funktioner

f(x) = ax + b

Vi finder

f(x) = ax + b er differentiabel i alle x (og dermed kontinuert), og f '(x) = (ax + b)' = a. Linien er sin egen tangent.

f(x) = x2

Vi finder

f(x) = x2 er differentiabel i alle x (og dermed kontinuert), og f '(x) = (x2)' = 2x.

f(x) = √x   x > 0

For at vise, at f(x) = √x er kontinuert for x > 0, sætter vi f(x + h) = f(x) + d eller √(x + h) = √x + d. Kvadrering giver

For at vise differentiabiliteten, ser vi på

Ved at "forlænge" med √(x + h) + √x får vi

For x > 0 er f(x) = √x differentiabel og f '(x) = (√x)' = 1 / 2√x

f(x) = xn

For n = 1, 2, 3, .... finder vi v.h.a. binomialudvikling

så for n = 1, 2, 3, .... er f(x) = xn er differentiabel i alle x (og dermed kontinuert), og f '(x) = (xn)' = nxn–1.

x–n. For n = 1, 2, 3, .... finder vi v.h.a. reciproksætningen for x ≠ 0, at

f(x) = sin(x)   og   cos(x)

Vi har ifølge additionsformlerne

sin(x + h) = sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h) = sin(x)[1 – h o(h)] + cos(x)[h + h o(h)] = sin(x) + cos(x) h + h o1(h).

cos(x + h) = cos(x) cos(h) – sin(x) sin(h) = cos(x)[1 – h o(h)] – sin(x)[h + h o(h)] = cos(x) – sin(x) h + h o1(h). Altså er

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Stamfunktion , F(x) = ò f(x) dx

At finde stamfunktioner er "det modsatte" af at differentiere.

F(x) siges at være en stamfunktion til f(x) hvis

Sætter vi G(x) = F(x) + k, hvor k er et tal, er G'(x) = [F(x) + k]' = F'(x) + k' = f(x). Der gælder altså

Har f(x) n stamfunktion, har den "mange".

Lad F(x) og G(x) være to stamfunktioner til f(x), og lad H(x) = F(x) – G(x). Ved differentiation ser vi, at H'(x) = F'(x) – G'(x) = f(x) – f(x) = 0. Det betyder, at H(x) må være en konstant funktion d.v.s. et tal.

Geometrisk betyder det, at har man grafen for n stamfunktion F(x), får man graferne for de andre ved at parallelforskyde F-grafen langs 2-aksen.

En stamfunktion til f(x) kaldes også det ubestemte integral og skrives ∫ f(x) dx.

Her er et program, der kan finde stamfunktioner til "alle" funktioner.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Areal og stamfunktion

Lad f(x) være kontinuert og f(x) > 0 i intervallet [a; b].

Uden videre diskussion tror vi på, at der findes et areal begrænset af grafen for f(x), 1-aksen og linierne x = a og x = b.

Lad A(x) være den del af arealet, der ligger mellem a og x.

Arealtilvæksten A(x + h) – A(x) er en smal strimmel af bredde h og højde ca. f(x). I del - intervallets endepunkter er strimlens højde f(x) og f(x + h) = f(x) + o(h), da f(x) er kontinuert. Vi sætter

Det betyder, at A(x) er differentiabel og A'(x) = f(x), så A(x) er en stamfunktion til f(x).

Er F(x) en tilfældig stamfunktion til f(x), findes et tal k, så A(x) = F(x) + k. A(a) = 0 giver, at k = –F(a) så, Areal = F(b) – F(a).

Der er traditon for forskellige skrivemåder: Areal = F(b) – F(a) = [ F(x) ]ab = ∫ab f(x) dx. Den sidste skal forstås på den måde, at arealet fremkommer som en Sum af rektangler med højde f(x) og bredde h = dx.

Rumfang af omdrejningslegemer

Roteres kurvestykket y = f(x), a ≤ x ≤ b en omgang omkring 1 - aksen, fremkommer et omdrejningslegeme. Rumfanget mellem a og x kaldes V(x).

Rumfangstilvæksten V(x + h) – V(x) er en smal skive af tykkelse h og areal ca. πf(x)2. I del - intervallets endepunkter er skivens areal πf(x)2 og πf(x + h)2 = πf(x)2 + o(h), da πf(x)2 er kontinuert. Vi sætter

V(x) er altså en stamfunktion til πf(x)2, og det søgte rumfang bestemmes af

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Cirkler og kugler

Vi søger arealet a(x) af en cirkel med radius x. Øges radius med h, øges arealet med en cirkelring med længde 2πx + o(h) og bredde h. Vi har altså

A(x) er altså en stamfunktion til 2πx, så A(x) = ∫2πxdx = πx2 + k. Arealet af en cirkel med radius r er

Kuglens rumfang

En kugle med radius r fremkommer ved at rotere grafen for f(x) = √(r2 – x2) n omgang omkring 1 - aksen. Dens rumfang bestemmes af

Kuglens overflade

En kugle med radius x har overfladen O(x).
Forskellen mellem kugler med radius x og x + h er em kugleskal af tykkelse h. Dette rumfang kan beregnes af fladen O(x) + o(h) og tykkelsen h.

Vi ser, V(x) er differentiabel og O(x) = V'(x) = 4 π x2. En kugle med radius r har altså overfladen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Tilnærmelser

√(1 + h) = 1 + h + h · o(h)

Vi søger et tilnærmet udtryk for √(1 + h) for "små" h - værdier og sætter √(1 + h) = 1 + ah + bh2 + .... Vi finder ved kvadrering

1 / (a + h) = 1 / a – h / a2 + h · o(h)

Funktionen h / (a + h) ∈ OK, da den for |h| < |a| kan omskrives på følgende måde (se f.eks. her):

1
a + h
= a
a (a + h)
= (a + h) – h
a (a + h)
= 1
a
h
a ( a + h )
= 1
a
h
a2
+ h2
a2 ( a + h )
= 1
a
h
a2
+ h2
a3
h3
a4
+ ... + hn–1
an
+ ...
f(h) = h
a + h
= h
a
h2
a2
+ h3
a3
h4
a4
+ ... + hn
an
+ ...

Vi ser, at f(h) = o(h) .

sin(h) = h – h · o(h)   og   cos(h) = 1 – h · o(h)
sinus   For små vinkler h er forskellen på sin(h) og h marginal. Vi tillader os at sætte
    sin(h) = h – h · o(h).
cos(h) =

1 – sin2(h)
=

1 – (h – h o(h))2
= 1 – (h – h o(h))2 = 1 – h o1(h)

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]