Studyguide til Matematik A

Oversigt

Denne studyguide indeholder følgende afsnit

Generel introduktion

Materialer
Du skal bruge
-   En lærebog til matematik A (højt niveau)
-   Matematiklærerforeningens opgavesamling (den violette)
-   Matematisk formelsamling for højt niveau (den violette)
-   En grafikregner
Mange lærebøger til matematik A indeholder repetitionsafsnit om forudsætningerne. Slår det ikke til, vil din kontaktperson sikkert gerne henvise til supplerende materiale.

Grafikregner.
En grafikregner er en nødvendighed. Og du gør dig selv en tjeneste ved at blive god til at anvende den. Den medfølgende manual er ofte omtrent ulæselig for ikke-fagfolk, så du står dig ved at skaffe en af de mange introduktioner til din maskine.

Forudsætninger
Inden du går i gang med pensum til Matematik A, er det en god ide at du sikrer dig, at du har forudsætningerne i orden. Det drejer sig især om:
-   kontinuitet
-   differentialregning
-   trekantberegninger
Mange lærebøger til matematik A indeholder repetitionsafsnit om forudsætningerne. Slår det ikke til, vil din kontaktperson sikkert gerne henvise til supplerende materiale.

Andre råd
De fleste har fordel af at finde en læsemakker. Sidder du alligevel fast i stoffet, tilbyder mange skoler et værksted, hvor man kan få hjælp. De fleste lærebøger har et opgaveafsnit med programmerede opgaver (opgaver med svar). Regn så mange af dem, at du føler dig tryg.

Emnelisten

Indledning
Denne guide er bygget op efter følgende princip.
Til hvert emne er der en beskrivelse af
- "Hvad skal jeg vide"
- "Hvad skal jeg kunne"
Mundtlig eksamen vedrører væsentligst "Hvad skal jeg vide".
Det meste er omtalt i formelsamlingen.
Du skal (selvfølgelig) kende alle formler i formelsamlingen. Du skal vide, hvad de forskellige bogstaver og symboler står for, og hvad formlerne skal bruges til.
Vigtigt. Punkterne under "Hvad skal jeg vide" skal du kunne begrunde. D.v.s. om ikke direkte bevise dem, så i hvert fald sandsynliggøre dem.

Skriftlig eksamen handler tilsvarende om "Hvad jeg skal kunne". Det væsentligste er listet i det følgende. Men i den sidste ende er det de opgaver, der har været givet til eksamen, der fastlægger pensum.

PLAN- og RUMGEOMETRI. Vektorer

Bekendtgørelsen siger:
Beskrivelsen af plane punktmængder udbygges til at omfatte en vektoriel beskrivelse, herunder karakterisering af ret linje ved retnings- og normalvektor. Beskrivelsen af punktmængder i rummet skal omfatte ret linje, plan og kugleflade. Vinkel mellem linje og plan samt mellem to planer behandles som vinkel mellem to vektorer. Skæring mellem linjer, mellem linje og plan, mellem linje og kugle samt mellem to planer behandles. Afstande mellem punkter, linjer og planer behandles. Keglesnittene gives både en geometrisk og en analytisk karakterisering, men der kræves ikke en egentlig behandling af keglesnittenes geometriske egenskaber. Der arbejdes med tegning af plane kurver givet ved simple parameterfremstillinger. Hastighedsvektoren til en banekurve indføres som en vektor, hvis koordinater er de afledede til stedvektorens koordinatfunktioner.

VEKTORREGNING

"Hvad skal jeg vide."

  1. En vektor er en mængde af parallelle og ensrettede pile med samme længde.
  2. I et koordinatsystem med enhedsvektorerne i og j har vektoren a = a1i + a2j koordinatfremstillingen (a1, a2) og tilsvarende i 3 dimensioner.
  3. Addition, subtraktion og multiplikation med en konstant foregår koordinatvis.
  4. Vektores skalarprodukt (prikprodukt) beregnes af a · b = (a1, a2) · (b1, b2) = a1b1 + a2b2 og tilsvarende i 3 dimensioner.
  5. En vektors længde kan bestemmes af |a| = √(a · a) .
  6. Vinklen mellem to vektore kan beregnes v.h.a.skalarproduktet a · b = |a| |b|cos(v).
  7. I 2 dimensioner beregnes arealer v.h.a. determinanter. Arealet udspændt af vektorerne a og b er den numeriske værdi af
    det(a , b) = a^ · b = |
    |
    a1
    a2
    b1
    b2
    |
    |
    = a1b2 – a2b1 = |a| |b| sin(v).
  8. Vektorproduktet (krydsproduktet) af vektorerne a = (a1, a2, a3) og b = (b1, b2, b3) er
    a × b = ( |
    |
    a2
    b2
    a3
    b3
    |
    |
    , |
    |
    a3
    b3
    a1
    b1
    |
    |
    , |
    |
    a1
    b1
    a2
    b2
    |
    |
    ) .
  9. I 3 dimensioner er arealet udspændt af vektorerne a og b længden af krydsproduktet |a × b| .
  10. I 2 dimensioner bestemmes en linies normalvektor ved tværvektoren til en retningsvektor og en retningsvektor ved tværvektoren til en normalvektor.
  11. I 3 dimensioner bestemmes en plans normalvektor ved vektorproduktet af to (uafhængige) vektorer i planen.
  12. I 2 dimensioner bestemmes afstanden mellem punktet P(x1, y1) og linien l: ax + by + c = 0 af
    dist(P, l) = |ax1 + by1 + c |


    a2 + b 2
  13. I 3 dimensioner bestemmes afstanden mellem punktet P(x1, y1, z1) og planen α: ax + by + cz + d = 0 af .
    dist(P, α) = |ax1 + by1 + cz1 + d |


    a2 + b 2 + c 2
  14. I 3 dimensioner bestemmes afstanden mellem punktet P og linie gennem P0 med retningsvektor r af
    dist(P, l) = |r × P0P|
    |r|
  15. Afstanden mellem linierne l1 gennem P1 med retningsvektor r1 og l2 gennem P2 med retningsvektor r2 beregnes af
    dist(l1, l2) = |n × P1P2|
    |n|
    , hvor   n = r1 × r2 .

"Hvad skal jeg kunne".

  1. Addere og subtrahere vektorer, danne tværvektorer og multiplicere med en konstant, hvad enten vektorerne er givet med koordinater eller ej.
  2. Beregne afstande mellem punkter, punkter og linier, punkter og planer samt mellem linier indbyrdes.
  3. Beregne vinkler mellem linier, mellem linier og planer samt mellem planer indbyrdes.
  4. Beregne projektioner af en vektor på en vektor, på en linie samt på en plan.
  5. Beregne arealer udspændt af vektorer
  6. Beregne skæringspunkter mellem linier og mellem linier og planer
  7. Beregne skæringspunkter mellem linier og kugler og mellem planer og kugler
  8. Beregne vandrette og lodrette tangenter og hastighedsvektorer for en parameterkurve
INTEGRALREGNING

Bekendtgørelsen siger:
Eleverne skal videreudvikle deres forståelse af begreberne grænseværdi og kontinuitet i det omfang, det er nødvendigt for arbejdet med integralregning og differentialligninger. Udvalgte dele af integralregningen skal gives en sammenhængende og stringent behandling, og i tilknytning hertil arbejdes der med bevisførelse for udvalgte, væsentlige sætninger. Der arbejdes både med integralet som grænseværdi for summer og med sammenhængen mellem integral og stamfunktion. Beregning af areal og rumfang behandles. Eksakte og numeriske metoder til beregning af integraler skal behandles, herunder partiel integration, integration ved substitution samt anvendelse af integraltabeller. Numeriske metoder til integration baseret på venstre-, højre- og midtsummer behandles.

"Hvad skal jeg vide."

  1. F(x) er en stamfunktion til f(x) hvis og kun hvis F'(x) = f(x).
  2. Alle kontinuerte funktioner har stamfunktioner.
  3. Enhver stamfunktion til f(x) kan skrives F(x) + konst , hvor F(x) er en (tilfældig) stamfunktion til f(x).
    Man skriver f(x)dx = F(x) + konst.
  4. (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx , k·f(x)dx = k·f(x)dx .
  5. abf(x) dx = –baf(x) dx   og   abf(x) dx + bcf(x) dx = acf(x) dx .
  6. f(g(x))·g'(x)dx = f(t)dt, hvor t = g(x) (substitution).
  7. f(x)·g(x)dx = F(x)·g(x) – F(x)·g'(x)dx (partiel integration).

"Hvad skal jeg kunne."

  1. Ved brug af differentiation afgøre, om F(x) er en stamfunktion til f(x).
  2. Finde stamfunktioner til standardfunktioner (potens-, eksponential-, logaritme-, trigonometriske funktioner og linearkombinationer af sådanne).
  3. Benytte partiel integration eller substitution til at finde stamfunktioner til udtryk af type f(x)g(x).
  4. Finde arealer under og mellem grafer.
  5. Finde rumfang af og mellem omdrejningslegemer.
  6. Beregne venstre- højre- og midtsummer som tilnærmede værdier for integraler.
DIFFERENTIALLIGNINGER

I bekendtgørelsen læser vi
Opfattelsen af differentialligninger som matematiske modeller skal omtales, idet det illustreres, hvordan anvendelse af infinitesimale betragtninger fører til opstilling af differentialligninger. Der kræves ikke nogen almen teori for løsning af differentialligninger, men i undervisningen behandles eksempler på bestemmelse af den fuldstændige løsning til en differentialligning. Løsningsmetoder og løsninger til differentialligninger af formen y'=h(x)g(y), specielt løsningerne til differentialligningerne y'=ky, y'=b-ay, y'=y(b-ay) samt y''=ky skal indgå.

"Hvad skal jeg vide."

  1. y' = h(x)g(y) med g(y) forskellig fra 0 løses ved at integrere dy
    g(y)
    = h(x)dx .

  2. y' = ky har løsningen y = C ekx .
  3. y' = b – ay har løsningen y = b
    a
    + C e–kx .

  4. y' = y(b - ay) har løsningen y = b / a
    1 + C e–kx
    .

  5. y" = k2y har løsningen y = C1ekx + C2e–kx.
  6. y" = –k2y har løsningen y = C1cos(kx) + C2sin(kx).

"Hvad skal jeg kunne."

  1. Oversætte et problem til en differentialligning og løse den.
  2. Tilpasse en løsning til oplysninger ved at justere løsningens konstanter.
DET SÆRLIGE FORLØB

Bekendtgørelsen:
Behandlingen af de tre aspekter sker i forbindelse med behandlingen af de to hovedemner og gennem særlige undervisningsforløb tilrettelagt med henblik på et eller flere af aspekterne. For at tilgodese modelaspektet skal mindst 10 timer benyttes til at gennemføre et sammenhængende forløb med henblik på anvendelser af integralregning og/eller differentialligninger.

Også for "selvstuderende" betyder det, at der skal læses et emne som uddyber det obligatoriske stof.
Aftal emne og omfang med din kontaktperson.

Eksamen
Skriftlig eksamen

Praktiske forhold. Du har 4 timer i fred og ro til at regne sættet. Ud over madpakke og termoflaske medbringer du skrivemateriale, grafikregner, tabelsamling, gennemregnede opgaver o.s.v. Papir til kladde og indskrivning udleveres af skolen.
I den første time må du ikke benytte grafikregner, formelsamling eller andre hjælpemidler. I de sidste 3 må du til gengæld benytte lærebøger, formelsamling, grafikregner blot ikke maskiner, der f.eks. kan løse ligninger symbolskt.
De færreste har glæde af at skrive en egentlig kladde. I stedet skrives besvarelsen løbende, når man føler sig sikker på, at de udregninger og opstillinger, man har på sit kladdepapir, er ok.
Der er intet krav om blæk eller kuglepen. Men bruger du blyant, skal du skrive så tydeligt, at der ikke er tvivl om, hvad du mener. Pas på at trykke hårdt nok. Orden (d.v.s. opstilling og overskuelighed) spiller en rolle. Ofte letter figurer og skemaer læserens forståelse. Det er vigtigt, at dine begrundelser for dine påstande er med. Det er en god ide, at skrive "bogstaver før tal", d.v.s. skrive formlen, før du sætter tal ind.

Mundtlig eksamen

Når man skal forberede sig til mundtlig eksamen, er det vigtigt, at man læser aktivt. D.v.s. at man læser "med blyant og papir".

En læsestrategi, der opfylder dette er:

  1. Tag er antal A4-sider og skriv en overskrift på hvert af dem. Det kan f.eks. være titlen på et eksamensspørgsmål, man vil forberede sig på.
  2. Når man vil repetere et afsnit i lærebogen, har man det relevante A4-ark ved siden af sig, og det handler nu om at fremstille et manuskript for, hvad man kunne tænke sig at sige, hvis man trækker pågældende spørgsmål. Mens man gennemarbejder afsnittet i lærebogen, tager man hele tiden stilling til, om det man netop læser, skal med i præsentationen. Denne vurdering af stoffets enkelte dele er en vigtig del af aktiv læsning. Beslutter man sig for, at det pågældende afsnit skal med i fremstillingen, formulerer man stoffet med egne ord på A4-arket. Det, at man sætter sit fingeraftryk på fremstillingen, er en vigtig del af aktiv læsning. Egne eksempler til belysning af stoffet indskrives i manuskriptet. Kun hvis man absolut ikke kan finde sine egne eksempler, benytter man bogens (det virker meget mere overbevisende, at kursisten selv har fundet eksempler frem evt. fra sin opgavesamling). Manuskriptet skal have et omfang svarende til ca. 30 minutters snak. Har man en tålmodig lillebror eller lignende, er det en god ide at afprøve manuskriptet ved at holde et foredrag for ham.
  3. Under senere repetition og i forberedelsestiden før eksamen holder man sig i det helt væsentlige til sit manuskript. Det, at alle beslutninger er truffet på forhånd, giver ro i sjælen, når du sidder i forberedelseslokalet.

Der er ingen grund til at skjule, at denne form for aktiv læsning er betydelig mere krævende end læsning efter "diagonalmetoden" og/eller i hængekøjen. Til gengæld kaster det af sig i den forstand, at 1 times aktiv læsning let giver større udbytte end måske 4 timer af den sædvanlige slags.

Praktiske forhold. På eksamensdagen møder du op i god tid. Når du har trukket dit spørgsmål, skal læreren (eksaminator) sikre sig, at du har forstået spørgsmålet. Derefter følger han/hun dig til et stille lokale, hvor du har ca. 30 min. at forberede dig og skrive din disposition. En disposition er en kort oversigt over, hvad du vil sige, og hvilken rækkefølge du vil sige det i. Pas på ikke at skrive for mange "hårde facts" på din disposition. Indeholder dispositionen rigeligt mange formler, kan du blive bedt om at lægge dispositionen fra dig, så det er klart for censor, hvornår du henter oplysninger fra den.

Eksempel

Til mundtlig eksamen kan et spørgsmål være formuleret således:

Vektorregning
Fortæl om vektorer, specielt om skalarproduktet (prikproduktet). Arealberegning og projektion af en vektor på en vektor skal indgå. Vælg selv passende eksempler.

Her er Undervisningsministeriets bekendtgørelse for matematik A.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]